सुनहरा अनुपात... और सब कुछ !

पिछले कुछ पोस्ट से... यहाँ पाया जाता है, वहां पाया जाता है ! आज समाप्त ही कर देते है... हर जगह पाया जाता है ! कम से कम हर खुबसूरत चीज में....

हर जगह पाया जाने वाला यह दैविक अनुपात प्रकृति में भी बहुतायत में पाया जाता है... घोघा शंख और मानव शरीर में इसकी उपस्थिति तो हम देख ही चुके हैं. फूलों और पत्तियों की बनावट में भी बड़ी आसानी से इसे पाया जाता है. सूर्यमुखी का फूल सबसे बड़ा उदहारण है जिनमें कई सारे गोल्डन स्पयाराल्स होते हैं. आज मुझे लगता है की लिखने से बेहतर है की कुछ लाजवाब लिंक दे दिए जाएँ... इतनी मेहनत से किसी ने ये साईट तैयार की है... और मेरा विश्वास है की एक बार देखने के बाद आपको आश्चर्य जरूर होगा... कहाँ नहीं पाया जाता ये अनुपात?

मानव शरीर में इसकी उपस्थिति: (सारे तस्वीर इसी लिंक से)

इस लिंक पर आप इन से सम्बंधित चित्र और व्याख्या देख सकते हैं:

- सुन्दरता और चहरे के माप के अनुपात

- मानव शरीर के विभिन्न अंगों का अनुपात

- तर्जनी अंगुली के विभिन्न हिस्सों में इस अनुपात और फिबोनाच्ची की उपस्थिति. (चित्र में)

- कान, आँख, हाथ तथा दांत जैसे अंगों में इसकी उपस्थिति.

- डीएनए और ईसीजी में उपस्थिति

- कुछ मछली, कीडे, चिडिया... इत्यादि में

प्रकृति में: अब ये स्लाइड शो देखिये... गैलेक्सी से लेकर, फूलों, फलों और पत्तियों में आप देख पायेंगे !

वैसे तो हम कला और स्थापत्य कला में इसकी उपस्थिति देख चुके हैं पर आज ये लिंक इतना कमाल का मिल गया की इसका लिंक दिए बिना नहीं रहा गया. तो ये भी देख लीजिये.

मानव शरीर और प्रकृति पर ये स्लाइड शो मिल जाने के बाद लिखने की कुछ गुन्जाईस ही नहीं बचती. अब संगीत में तो वायलिन की संरचना ही देख लीजिये. ऐसा पाया गया है कि जो संगीत सुनने के कक्ष सबसे अच्छे होते हैं उनके माप का अनुपात इस अनुपात के काफ़ी करीब होता हैं. संगीत के क्रम में जो अंतराल होते हैं उनमें इसकी उपस्थिति होती है... मुझे संगीत का कुछ ज्ञान नहीं पर ये बातें शायद आपको समझ में आए.

अब जाते-जाते सुन्दरता... ऐसे प्रयोग किए गए और निष्कर्ष निकाला गया कि जिनके चहरे में ये अनुपात होता है वो ज्यादा आकर्षक होते हैं. परफेक्ट फेस की भी मोडेलिंग की गई. इस पर भी ये लिंक देख आइये. जाते-जाते एक बार और अनुरोध करना चाहूँगा की ये सारे लिंक देख लें... निराशा नहीं होगी. सुनहरे अनुपात की श्रृंखला को अगर इन लिंकों के साथ ख़त्म न किया जाय तो चलती ही रहेगी.

इसके बाद भी किसी को जिज्ञासा हो या जिज्ञासा पैदा हो गई हो... तो अपना ईमेल दे दीजिये पूरी किताब पड़ी है मेरे पास... जिनमें दो २५० पन्नों से ज्यादा की हैं !

इस श्रृंखला की पिछली कड़ियाँ:

सुनहरा अनुपात और स्थापत्यकला

सुनहरा अनुपात और चित्रकारी

सुनहरा आयत, अनुपात और फिबोनाच्ची

कलाकारों और वास्तुशिल्पियों की पसंद: सुनहरा अनुपात

उत्कृष्ट लिंक:

http://milan.milanovic.org/math/

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html

~Abhishek Ojha~

और अगर कभी फुर्सत मिले तो ये विडियो भी... थोड़ा समय लगेगा पर है कमाल का !

सुनहरा अनुपात और स्थापत्यकला

सुनहरे अनुपात की स्थापत्य कला में उपस्थिति बहुत पुरानी है.... जैसे चित्रकारी में मोनालिसा और लियोनार्दो दा विन्ची की कृतियाँ सबसे पहले दिमाग में आ जाती हैं वैसे ही स्थापत्य कला के प्राचीन अनूठे नमूनों की बात करें तो पिरामिड ही दिमाग में आते हैं। पिरामिड का निर्माण क्यों और कैसे हुआ ये तो आप सब जानते ही हैं... पर अगर गौर से देखा जाय तो सूक्ष्म से बड़े स्तर तक कई वैज्ञानिक तथ्य इनमें छुपे हुए हैं। ठीक दा विन्ची के चित्रों की तरह। 

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अगर पिरामिड का अनुप्रस्थ काट देखें तो यह ऐसा दीखता है।  चित्र में जो phi है वो वही सुनहरा  अनुपात है (१.६१८...). यानी पिरामिड की तिरछी ऊंचाई और जमीन के केन्द्र से उसकी दूरी का  अनुपात. पिरामिड से निकाला गया यह यह अनुपात सुनहरे अनुपात से दशमलव के ४ अंको तक मिलता है। अगर केन्द्र से यह दूरी १ ले लें तो पिरामिड की ऊंचाई phi के वर्गमूल के बराबर हो जाती है। और इस चित्र में अगर आप थोड़ा और गणित लगा लें तो पायेंगे की  झुकी हुई सतह का क्षेत्रफल भी phi ही आ जाता है। फ़राओ निर्मित महान गीज़ा के पिरामिड में यह अनुपात सबसे सटीक मिलता है.

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आगे बढ़ते हैं पेरिस की तरफ़... यहाँ पर  नोट्रेडेम (Notre Dame) नाम से प्रख्यात कैथेडरल है. यह कैथेडरल फ्रांसीसी स्थापत्यकला के सबसे प्रसिद्द इमारतों में से एक है. फ्रांसीसी क्रांति के समय इसे भारी क्षति पहुँची थी पर पिछली शताब्दी में फिर से इसका जीर्णोद्धार कर पहले की अवस्था में ले आया गया (काश अपने यहाँ भी ऐतिहासिक भवनों के साथ ऐसा हो पाता). १२वीं सदी में निर्मित स्थापत्य कला के इस अद्भुत नमूने के जगमगाते चित्र के साथ ये चित्र  भी देख लीजिये, इस चित्र में अनुपात को रेखांकित किया गया है. । तो अगली बात जब आप पेरिस जाएँ तो ध्यान से देखियेगा।

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अब वो चित्र जिसे देखकर मैंने इस अनुपात के बारे में  पढ़ना चालु किया था। ये चित्र वैसे तो इन्टरनेट से लिया गया है  लेकिन पहली बार इसे मैंने 'Numerical methods for Engineers' किताब में देखा था... जिसमें एक छोटे से परिचय के साथ यही चित्र दिया गया है. अथेन्स के एक्रोपोलिस का... ईशा पूर्व पांचवी सदी में निर्मित ऐसे कई ग्रीक भवनों में यह अनुपात था... जिनमें सबसे प्रसिद्द पर्थेनोन नमक यह मन्दिर है। खँडहर का रूप ले चुके इस ईमारत की हुबहू कॉपी अमेरिका के टेनिसी प्रान्त की राजधानी नैशविले में बनाई गई है।

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जाते-जाते उक़बा की मस्जिद को देख लीजिये... इसके मुख्य भवन और मीनारों में यह अनुपात आसानी से मिलता है... इसके अलावा आधुनिक समय में टोरंटो का सीएन टावर और  संयुक्त राष्ट्र के मुख्य भवन में यह अनुपात है। वैसे ये तो कुछ प्रसिद्द उदहारण हैं... इनके अलावा ऐसे कितने ही भवन होंगे जिनमे यह अनुपात ढूंढा जा सकता है. अपने ताजमहल में भी इसकी उपस्थिति कुछ शोधकर्ताओं ने ढूंढ़ निकाली है !

 

अगली पोस्ट में प्रकृति से कुछ उदहारण देखते हैं... डीएनए से लेकर गैलेक्सी तक में इस दैविक अनुपात की उपस्थिति... !

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इस श्रृंखला के शुरुआत से ही आप सब का सहयोग और उत्साहवर्धन मिलता रहा है... मसिजीवीजी ने पिछले दिनों जनसत्ता के अपने नियमित कालम में सुनहरा अनुपात और इस ब्लॉग कि चर्चा की.  लवली कुमारी ने भी बड़े अच्छे सुझाव भेजें हैं. आप सबका आभार. आशा है ऐसे ही मार्गदर्शन मिलता रहेगा... और साथ बना रहेगा.

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~Abhishek Ojha~

सुनहरा अनुपात और चित्रकारी

चित्रकारी की बात हो तो दिमाग में विन्ची का नाम शायद सबसे पहले दो-तीन नामों में से आ जाय और अगर मोनालिसा का नाम इसमें सबसे पहले आए तो कोई आश्चर्य नहीं होना चाहिए। विन्ची की कलाकृतियों में तो हजारों चीज़ें ढूंढ़ ली जाती हैं तो फिर सुनहरा अनुपात ढूँढना कौन सी बड़ी बात है। वर्चुवियन मैन में इस अनुपात की उपस्थिति तो हम देख ही चुके हैं... आज कुछ और चित्रों पर गौर करें: (भला हो इन्टरनेट का सारे चित्र सर्च किए हुए हैं)।

अब अगर लियोनार्दो दा विन्ची के सहयोगी लुका पसिओली (Luca Pacioli)

ने अगर कह दिया 'बिना गणित के कोई कला नहीं' तो क्या ग़लत कहा ! लियोनार्दो के अलावा भी हजारों पेंटिंग में ये अनुपात देखने को मिलता है। अब ये पेंटिंग देखिये कैसे फिट बैठ जाती है सुनहरे आयत में. विन्ची की 'लास्ट सपर' तो आपने सुनी ही होगी... इसके तो छोटे-छोटे हिस्से को मैग्निफाई करके देखने पर भी ये अनुपात मिल जाता है। पूरे चित्र का वर्गीकरण ही देख लीजिये।

शरीर के विभिन्न हिस्सों के अनुपात के रूम में देखा जाना भी शायद एक कारण रहा की चित्रकारों ने इसी अनुपात में पेंटिंग के चरित्रों की बनाया। अब माइकल एंजेलो की प्रसिद्द मूर्ति डेविड को देख लेते हैं: कमाल की बात ये है की डेविड के ये अनुपात विन्ची के वर्चुवियन मैन से एकदम मिलते हैं। वर्चुवियन मैन और आदर्श मानव चेहरे आप पिछली एक पोस्ट में यहाँ देख सकते हैं।

अब नए जमाने में एंड्र्यू रोजेर्स की ये कलाकृति भी देख लीजिये इसका नाम ही 'सुनहरा अनुपात' है, पत्थर और सोने से बनी ये कलाकृति जेरुसलम में स्थित है जो फिबोनाच्ची क्रम पर आधारित है। (एंड्र्यू रोजर्स बड़ी रोचक कलाकृतियाँ बनाते रहे हैं, आप उनके लिंक पर जाकर देख सकते हैं।)
अगले पोस्ट में कुछ स्थापत्य कला के नमूने देखते हैं... अब स्थापत्य कला हो और सुनहरा अनुपात तो पिरामिड भी आना ही चाहिए !

~Abhishek Ojha~

सुनहरा आयत, अनुपात और फिबोनाच्ची (बातें गणित की भाग... XV)

पिछली पोस्ट से उस सुनहरी दास्ताँ को आगे बढाते हैं. हमने सुनहरे अनुपात (Golden Ratio) की परिभाषा तो जान ही ली थी. आज वाली पोस्ट में थोडी गणित है (बस जोड़-घटाव) पर इसके बाद आने वाली ३-४ पोस्ट में एक भी अंक नहीं आएगा.

फिबोनाच्ची क्रम अंकों का एक क्रम होता है. जिसकी पहली और दूसरी संख्या १ होती है. उसके बाद हर अगली संख्या पिछली दो को जोड़ने से मिलती है, अर्थात फिबोनाच्ची क्रम ऐसा होता है: १, १, २, ३, ५, ८, १३, २१,.... आप देख सकते हैं क्रम के अंक पिछले दो अंकों के जोड़ने से बने है. ये हो गया फिबोनाच्ची क्रम (इस क्रम की संख्याओं को फिबोनाच्ची संख्या के नाम से जाना जाता है)...

अब एक काम करते हैं इस क्रम के हर अंक में उसके पिछले वाले अंक से भाग दे देते हैं। तो नया क्रम कुछ ऐसा होगा:

१, १/१, २/१, ३/२, ५/३, ८/५, १३/८, २१/१३, ...

अब अगर कैलकुलेटर उठा के देखें तो ये संख्याएं कुछ ऐसी आएँगी:

१, १, २, १.५, १.६६, १.६, १.६२५, १.६१५,...

अगर ये काम और बड़े अंकों के लिए करें तो यह धीरे-धीरे सुनहरे अनुपात की तरफ़ पहुच जाता है (१.६१८...). ये एक और तरीका है दैविक अनुपात तक पहुचने का... रास्ते अलग हो सकते हैं पर सत्य तो एक ही है ! जितने बड़े फिबोनाच्ची अंक लीजिये उतना सही सुनहरा अनुपात मिलेगा। अनंत के जितना करीब, सत्य के उतना ही पास !

आगे बढ़ने से पहले एक बात: वो हर चीज़ जिसमें सुनहरा अनुपात या आयत होता है मनुष्य को अच्छी लगती है चाहे वो कोई पेंटिंग हो या किसी का चेहरा, या फिर कोई वस्तु... सुनहरा अनुपात और सुन्दरता की चर्चा किसी और पोस्ट में !

अब आयत (Rectangle) की बात (वो छैंया-छैंया में 'आयत की तरह मिल जाए कहीं' से थोड़ा अलग है)। ऐसा आयत जिसकी भुजाओं का अनुपात 'सुनहरा अनुपात' हो उसे सुनहरा आयत कहते हैं। मतलब ये की आयत की लम्बाई को चौडाई से भाग देने पर १.६१८.... आए। इसकी कई खासियत में से एक ये भी है की अगर इसमें से एक वर्ग काटकर अलग कर दिया जाय तो जो बचता है वो भी सुनहरा आयत ही होता है। जब इस पर पहली किताब आई और इसके गुण चित्रकारों को पता चले तो इसकी सुन्दरता का खूब इस्तेमाल किया गया। कई प्रसिद्द पेंटिंग्स में। बस इस कदर लोग मोहित थे कि इसे ऐसा अनुपात माना जाता है जिससे प्रकृति काम करती है... ये हुआ आयत और इसी से जुड़ी हुई एक रचना आगे बनाएं तो घुमावदार स्पायरल का चित्र बनता है. ये चित्र में एक आयत और दूसरा स्पायरल दोनों सुनहरे ! एक को सुनहरा आयत कहते हैं और दुसरे को सुनहरा स्पायरल.





अब प्रकृति में ये रचना आपको कहाँ-कहाँ दिखती है? कई जगह... जैसे कुछ तो इनमें ही देख लीजिये। गणित ने कैसे कुछ बहुत बड़ी-बड़ी कलाकृतियों और इमारतों को प्रभावित किया है... इसकी चर्चा अगली पोस्ट में करते हैं।

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पिछले पोस्ट पर आई द्विवेदीजी और मसिजीवीजी की टिपण्णी और उनके जवाब भी देखने लायक हैं. ये मत कह दीजियेगा की यही क्या कम था जो जाते-जाते और लिंक ठेले जा रहे हो :-)

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~Abhishek Ojha~

कलाकारों और वास्तुशिल्पियों की पसंद: सुनहरा अनुपात (बातें गणित की भाग... XII)

चिटठा चर्चा में पढ़ा कि बिना पोस्ट्स के ब्लॉग ठूंठ हो जाते हैं तो ध्यान आया कि अब इस ब्लॉग को तो ठूंठ ही कहेंगे। गर्मी की छुट्टी भी एक महीने की ही होती है तो सोचा की कुछ ठेल ही दिया जाय अब बहुत हो गया। तो लीजिये प्राचीन से आधुनिक समय तक चित्रकारी से लेकर स्थापत्य तक में उपयोग होने वाले इस सुनहरे अनुपात के बारे में जान लेते हैं।

अनुपात (रेशियो) तो आप जानते ही होंगे, 'वही एक बट्टा दो... दो बट्टे चार, छोटी-छोटी बातों में बँट गया संसार'। एक संख्या को दुसरे से भाग दे दीजिये और वो हो जाता है एक अनुपात। तो ऐसे अनंत अनुपात हो सकते हैं... वैसे ही जैसे अनंत अंक होते हैं। अब इस अनंत अनुपातों में से ये अद्वितीय अनुपात है... जिसे सुनहरा अनुपात (गोल्डन रेशियो) कहते हैं। इसकी खासियत क्या है? अरे भई खासियत ही खासियत है... एक पोस्ट में तो नहीं आ पायेगी। पहले ये जान लेते हैं की ये होता क्या है... ना भी समझ में आए तो कोई बात नहीं है, कम से कम ये तो जान ही सकते हैं की दुनिया की सबसे मशहूर चित्रकार की पेंटिंग और कुछ मशहूर प्राचीन भवनों में इसका उपयोग हुआ था।

कोई भी दो भिन्न संख्या ले लीजिये, अब दो है तो एक बड़ा एक छोटा होगा ही, यदि दोनों के योग को बड़ी संख्या से भाग देने पर वही अनुपात आए जो बड़ी को छोटी से भाग देने पर. तो इस अनुपात को सुनहरा अनुपात कहते हैं (इसे दैविक अनुपात भी कहते हैं). गणितज्ञों को ये रोचक लगा तो वहीँ कलाकारों को इसमें खूबसूरती दिखी। अगर इसे हल किया जाय तो इस अनुपात का मान १.६१८ के लगभग होता है। पाई की तरह ही दशमलव के कई अंको तक इसे निकाला जा सकता है. इस एक अनुपात पर केवल गणितज्ञ ही नहीं कई विधाओं के लोगों ने सालों तक काम किया है... इसका इतिहास करीब २५०० साल पुराना है। इस अकेली संख्या पर कई किताबें है. जी हाँ एक संख्या पर कई किताबें. इस अनुपात का पहला लिखित विवरण युक्लिड द्बारा लिखा गया पर उससे पहले भी इसकी उपस्थिति यूनानी मूर्तियों में देखने को मिलाती है। यूनानियों ने पहली बार ज्यामितीय रचनाओं में इसकी उपस्थिति पर गौर किया. पर सबसे ज्यादा उपयोग हुआ पुनर्जागरण के समय पर जब इसकी खूबसूरती पर कुछ लोगों ने लिखा और फिर चित्रकार, मूर्तिकार, दार्शनिक सबने उपयोग किया।

इस संख्या के गणितीय गुण तो मैं लिखने से रहा क्योंकि इस ब्लॉग पर गणित नहीं लिखा जाता :-) तो इसके उपयोग के कुछ उदहारण देखते हैं। सबसे पहले मशहूर चित्रकार लिओनार्दो दा विन्ची की पेंटिंग देखते हैं। बाबा लिओनार्दो भी कमाल के आदमी थे... सब कुछ करते थे। चित्रकार, मूर्तिकार, गणितज्ञ, अभियंता, लेखक, संगीतज्ञ और पता नहीं क्या-क्या कभी उनकी एक किताब उठा के देखिये क्या डिजाईन बनायी थी उस ज़माने में उन्होंने ! ढूंढने वालों ने उनकी कुछ ५० से ज्यादा पेंटिंग्स में इस अनुपात को ढूंढ़ निकाला. इनकी मशहूर पेंटिंग 'वर्चुवियन मैन' की एक व्याख्या देखिये... और मोनालिसा में भी ये अनुपात ढूंढ़ ही लिया गया, मोनालिसा जैसी पेंटिंग बिना गणित के बन जाय... ऐसा कैसे हो सकता है !




स्थापत्य कला में इसका उपयोग देखना हो तो तकरीबन ४५० वर्ष ईशा पूर्व अथेन्स का एक्रोपोलिस है। इसमें यह अनुपात दिखा क्या आपको? थोड़ा मुश्किल है, मुझे भी नहीं दिख रहा।


वैसे अब इस संख्या की चर्चा हो ही गई है तो इन सब पर एक-एक मजेदार पोस्ट बन जायेगी। तो विस्तृत जानकारी अगले कुछ पोस्ट में आती रहेगी. इन सब के अलावा ये संख्या जीव विज्ञान और संगीत में भी आती है... उफ्फ़ ! संगीत और गणित? यही बाकी रह गया था। पर आपमें से बहुत संगीत में रूचि रखते हैं तो शायद आपको ये अच्छा लगे कि कैसे एक संख्या संगीत में उपयोग हो सकती है... आख़िर दैविक संख्या है !

अब आपको एक और गुण बता दूँ. ये अनुपात होता है १.६१८... अब जरा कैलकुलेटर उठा के १/१.६१८ निकालिए ये भी .६१८... आता है।

बहुत सारे गुण है जब कई किताबें हैं तो एक पोस्ट में क्या होगा। पर आज ब्लॉग को ठूंठ होने से बचाने के लिए इतना ही। आने वाली कुछ पोस्ट इस दैविक संख्या पर। देखते हैं कहाँ-कहाँ मिलता है। निराशा तो नहीं मिलेगी हाँ ये हो सकता है की आप भी इस सुनहरे अंक की उपस्थिति अपने शरीर के साथ-साथ आस-पास की कई चीज़ों में देखने लगें !

~Abhishek Ojha~


सारे चित्र विकिपीडिया से।