कुछ लोग... कुछ बातें... !

जीनियस, राजनीति, प्यार और ट्रेजडी ! (भाग २)

2011-10-25T13:24:00.000+05:30

इसी दौरान गैल्वा पर एक बड़ी विपत्ति तब आई जब उसके पिता ने आत्म हत्या कर ली. किसी पादरी ने उसके परिवार के खिलाफ कुछ आपत्तीजनक कागजात जनता में बंटवा दिया. जिसके बाद उसके पिता ने आत्म हत्या कर ली. जब गैल्वा अपने पिता की अंतिम यात्रा में शामिल होने के लिए आये उस समय सडको पर दंगे की सी स्थिति थी. इस घटना के बाद गैल्वा के दिमाग में एक बात घर कर गयी - ‘संसार में कहीं भी न्याय नहीं है !’

इस बीच शिक्षक बनने का ख्याल भी गैल्वा के दिमाग में आया पर उसके शिक्षकों ने गणित और भौतिकी में अच्छे अंक आने के बावजूद साहित्य में कम अंक आने पर टिपण्णी लिखी कि ‘इसे कुछ नहीं आता, कम मेधा का ये विद्यार्थी कभी शिक्षक नहीं हो सकता !’

इकोल पोलिटेक्निक की जगह अक्टूबर १८२९ में गैल्वा ने इकोल नोर्मले सुपिरियेर में दाखिला लिया लेकिन विद्यालय के प्रशासकों से राजनीतिक मतभेद के चलते उन्हें ‘अस्वीकार्य व्यवहार’ का बहाना लेकर दिसम्बर १८३० में निष्कासित कर दिया गया.

१९ वर्ष की आयु में बीजगणितीय समीकरणों पर गैल्वा ने उस समय तक के गणितीय सिद्धांतों से आगे काम करते हुए नए सिद्धांतों पर तीन नए शोध पत्र तैयार किये और उन पत्रों को फ़्रांस की अकादमी में उच्चतम पुरस्कार के लिए जमा किया. उन अद्भुत पत्रों और उनके रचयिता गैल्वा के साथ एक बार फिर बिडम्बना हुई. अकादमी के सचिव तक इस बार पत्र तो पँहुचे जिसे वो समीक्षा करने के लिए अपने घर तक भी ले गया लेकिन समीक्षा करने के पहले ही वो सचिव चल बसा ! गैल्वा के मन में संसार में अन्याय होने की भावना बढती गयी और वो रिपब्लिकन पार्टी में शामिल हो गया जो उस समय तक प्रतिबंधित कर दी गयी थी. जब उसने १८३० की क्रांति में भाग लेना चाहा तो विद्यालय के निदेशक ने उन्हें विद्यालय में ही कैद करवा दिया. इसके बाद गैल्वा ने विद्यालयों की पत्रिका गजेट दे एकोल्स में एक पत्र लिखा जिसके कारण ही उन्हें विद्यालय से निष्कासित किया गया था.

गैल्वा ने गणित पढाने की कोशिश भी की. पर वो अपने विचार ही पढाने लग जाते... नतीजा वही... विद्यार्थी मिले नहीं... जो मिले वो भी कुछ ही दिनों में भाग गए. गैल्वा ने अपने समीकरणों के सिद्धांत पर शोधपत्र छपवाने का आखिरी प्रयास पोसोन के कहने पर किया. लेकिन उसके बाद उसने अपने आपको पूरी तरह राजनीति और क्रांति को समर्पित कर दिया. इन्हीं द्दिनो गैल्वा ने लिखा ‘अगर जनता को आन्दोलित करने के लिए एक लाश चाहिए तो मैं अपना शारीर दान कर दूँगा !’

१८३१ में रिपब्लिकनों के एक सम्मलेन में वो राजशाही के खिलाफ बोला और रातों रात प्रसिद्द हो गया. लेकिन राजनीति में ये बात फ़ैल गयी कि गैल्वा ने उस सम्मलेन में राजा की जान लेने का संकल्प लिया है और अगले ही दिन उसे गिरफ्तार कर लिया गया. वकील ने ‘नरो वा कुंजरो’ नीति का सहारा लिया और कहा कि गैल्वा ने उस सम्मलेन में कहा था कि ‘मैं इस राजा की जान ले लूँगा अगर वो देशद्रोही हो जाता है’. वकील ने कहा कि शोर में बाद का हिस्सा सिपाही नहीं सुन पाए थे. गैल्वा ने इस बात को मानने से इनकार कर दिया... लेकिन फिर भी न्यायधीश ने उन्हें रिहा कर दिया.

पर अगले ही महीने उन्हें फिर सावधानी बरतने के नाम पर गिरफ्तार कर लिया गया. उस समय वो उस सेना की वर्दी पहने हुए थे जो प्रतिबंधित की जा चुकी थी और इस कारण से उन्हें तीन की जगह ६ महीने की सजा हो गयी. १८३२ के हैजा प्रकोप के समय उन्हें जेल से अस्पताल में स्थान्तरित कर दिया गया. ‘महत्त्वपूर्ण राजनितिक बंदी’ की श्रेणी में होने के कारण उन्हें यहाँ कोई दिक्कत तो नहीं होती थी. लेकिन किस्मत में कुछ और लिखा था...

इसी दौरान गैल्वा को पहली मुहब्बत हुई... जेल में कैदियों से मिलने वालों में एक हसीना भी थी. जिससे गैल्वा को प्यार हो गया. कई लोग मानते हैं कि वो उनके एक राजनितिक दोस्त की गर्लफ्रेंड थी. पर इस पर एकमत नहीं है. कुछ लोग उसे डॉक्टर की बेटी बताते हैं. इस मामले में भी उन्हें असफलता ही नसीब हुई और गैल्वा का दुनिया से भरोसा ही उठ गया. २५ मई १८३२ को उन्होंने ये बात अपने एक दोस्त को पत्र में लिखा था. ये प्यार गैल्वा के त्रस्त और उपेक्षित जीवन का आखिरी झटका साबित हुआ।

प्यार में मिले धोखे से निराश और दुखी पत्र लिखने के चार दिन बाद २९ मई को वो आराम और ध्यान करने के विचार से जेल से रिहा हुए थे. लेकिन इन चार दिनों के दौरान क्या हुआ किसी को ठीक-ठीक नहीं पता ! इसके बाद के मिले २-३ चिट्ठियों में गैल्वा ने बस इतना कहा कि उन्हें दो अन्य देशभक्तों से द्वंद्व (डुएल) की चुनौती मिली है जिसे वो मना नहीं कर सकते॰ गैल्वा की जीवनी लिखने वालों में से अधिकतर इसे प्यार वाले किस्से से जोडते हैं लेकिन कई इसे सिर्फ राजनीति से ही जोडते हैं. कुछ लोग इसे राजशाही द्वारा उनके खिलाफ किया गया षड्यंत्र भी मानते हैं.

गैल्वा को इस द्वंद्व में अपनी मौत का पूर्ण विश्वास हो गया था और उन्होंने अपने मित्र को लिखे एक पत्र में लिखा: ‘मुझे दो देशभक्तों ने द्वंद्व की चुनौती दी है – इसे अस्वीकार करना मेरे लिए असंभव था. मैं तुम दोनों से माफ़ी चाहता हूँ कि मैंने तुम्हे इसके बारे में पहले नहीं बताया. लेकिन मेरे विरोधीयों ने मेरे सम्मान को ललकार कर कहा था कि मैं किसी और देशभक्त को इसके बारे में ना बताऊँ. मेरे बाद तुम्हारा काम बहुत आसान है: ये साबित करना कि मैंने खुद नहीं चाहते हुए भी लड़ाई की... हर तरह की कोशिश करने के बाद त्रस्त होकर... मेरी यादों को बचा कर रखना क्योंकि भाग्य ने मुझे इतनी जिंदगी नहीं दी कि मेरा देश मेरा नाम जान सके. मैं मरता हूँ. तुम्हारा मित्र – इ. गैल्वास

इस पत्र को लिखने के बाद गैल्वा ने एक रात भर में अपने गणितीय सोच को कागज पर उतारने का फैसला किया. उन्हें पता था कि उनके पास बस आज की ही रात बची है। थोड़ी-थोड़ी देर बाद वो हाशिए पर लिखते जाते ‘मेरे पास समय नहीं है’. और कई बार बस अपनी सोच की रुपरेखा ही लिखते चले गए. ये एक रात का लिखा गणितीय खाका आने वाले समय में सदियों तक गणितज्ञों को व्यस्त रखेगा ये भला उनको कम मेधा का असामान्य विद्यार्थी कहने वाले शिक्षक कैसे सोच सकते थे ! उस रात ग्रुप्स और समीकरणों पर दिए गए उनके सिद्धांत विलक्षण और उच्च कोटि के थे (हैं). उन्होने उस रात कुल ६५ पन्ने लिखे।

१४ साल बाद लूविले ने उनके लिखे ६५ पन्नों को सम्पादित किया.

गैल्वा ने अपनी वसीयत अपने मित्र औगास्ते शेवेलियर को लिखी जिसमें उन्होंने लिखा था ‘मेरे दोस्त, मैंने गणितीय विश्लेषण में कुछ नए आविष्कार किये हैं. जैकोबी और गॉस से सार्वजनिक रूप से इस पर प्रतिक्रिया देने को कहना. उनसे ये मत पूछना कि ये सही हैं या नहीं बल्कि ये कि ये कितने महत्तवपूर्ण हैं ! मैं आशा करता हूँ कि बाद में कभी कुछ लोग ऐसे भी होंगे जिन्हें इस झंझट(मेस) को पढ़ना और सुलझाना उपयोगी लगेगा’। कौशी का नाम उन्होने पत्र में कहीं नहीं लिखा। उन्होने किसी अन्य फ्रेंच गणितज्ञ का नाम भी नहीं लिखा। जैकोबी और गॉस दोनों जर्मन थे।

२९ मई १८३२ को रात भर अपने विचार लिखने के बाद ३० मई को सुबह द्वंद्व हुआ. कुछ लोगों को एक खेत में अकेले असहाय घायल अवस्था में गोली लगे गैल्वा मिले जिन्हें वहाँ से अस्पताल ले जाया गया. जहाँ उनकी मौत ३१ मई को हुई. उन्होंने मरते समय पादरी की सहायता लेने से मना कर दिया और अपने छोटे भाई से कहा ‘रो मत, मुझे २० वर्ष की उम्र में मरने के लिए बहुत हिम्मत चाहिए.’

उनके बारे में खूब लिखा गया है. लेकिन सिर्फ २० वर्ष की जिंदगी से बहुत दस्तावेज या जानकारी नहीं मिलती. ज्यादातर लेखक उनके जीवन के रोमांटिक किस्से को बहुत बढ़ा चढा कर लिखते हैं. जबकि उनके पत्रों से ज्यादा राजनीतिक पक्ष सामने आता है.

गणित की दृष्टि से गैल्वा ने इस कम उम्र में ही अद्भुत काम किये. अब्स्ट्रेक्ट अलजेब्रा के लिए उनके विचार क्रन्तिकारी थे. उन्नीसवीं सदी के अंत में जब फिल्ड के सिद्धांत का विकास हुआ तो पता चला कि इनमे से ज्यादातर बातें गैल्वा ने अपने पहले पत्र में ही कह दी थी. ग्रुप्स के सिद्धांत का भी विकास उन्ही के विचारों से हुआ. उनके लिखे पत्रों और बाद के कुछ शोधपत्रों को मिलाकर गणित में एक नयी विचारधारा का जन्म हुआ. समीकरणों का सिद्धांत, ग्रुप सिद्धांत, फाइनाईट फिल्ड और उनके नाम पर पड़ा गैल्वास सिद्धांत उनके गणित में महत्त्वपूर्ण योगदान हैं.

मरने के कुछ दिन पहले उन्होंने कहा था ‘कुछ लोग अच्छा करने के लिए धरती पर आते हैं लेकिन उसका अनुभव करने के लिए नहीं रह पाते. मैं भी शायद उनमें से एक हूँ!’.

गैल्वा को सार्वकालिक महानतम गणितज्ञों में गिना जाता है। आज उनका दो सौवां जन्मदिन है !

मैंने ये सब इन जगहों पर पढ़ा:

१॰ मेन ऑफ मैथेमेटिक्स

२. ऑफ मेन एंड नम्बर्स

३. प्रिंसटन कम्पेनियन टू मैथेमेटिक्स

चित्र:विकिपीडिया से

~Abhishek Ojha~

जीनियस, राजनीति, प्यार और ट्रेजडी !

2011-10-20T13:01:00.001+05:30

जिसकी पूरी जिंदगी ही बीस साल की हो उसके जीवन पर बहुत कुछ कहने को क्या होगा? लेकिन कुछ ऐसे भी लोग होते हैं जिनकी जिंदगी के एक दिन पर ग्रन्थ लिख दिए जाते हैं फिर बीस साल तो बहुत होते हैं ! ऐसी ही एक शख्सियत थे एवारिस्ट गैल्वा !

गाँव के मुखिया, आजादी के दीवाने और बुद्धिजीवी पिता तथा बिना तर्क धर्म को ना मानने वाली धार्मिक माँ के पुत्र गैल्वा का जन्म २५ अक्टूबर १८११ को फ़्रांस में हुआ था. गाँव के मुखिया के रूप में गैल्वा के पिता गाँव वालों को हमेशा पादरियों से बचाते थे. इस कारण पादरियों से हमेशा ही उनकी अनबन रही॰ १२ साल की उम्र तक इस बालक के दिन बहुत अच्छे गुजरे॰ उसकी पढाई घर पर ही हुई इस दौरान कभी-कभी वो अपने पिता के भाषण भी लिखा करता. प्रारंभिक शिक्षा अपनी माँ से ही मिली और इसका बालक पर गहरा असर पड़ा. घर के वातावरण ने भी उसे तार्किक और निरंकुशता का विरोधी बनाया॰

१२ साल की उम्र में पेरिस के प्रतिष्ठित लाइसी-लुई-ले-ग्रांड स्कूल में दाखिले के साथ ही गैल्वा के बुरे दिनों की शुरुआत हो गयी. लाइसी-ले-ग्रांड एक विद्यालय से अधिक जेल था. कठोर अनुसाशन और एक खास तरीके से ही पढाई करने के रूढ़िवादी तरीके वाले इस विद्यालय में कोई भी गैल्वा की प्रतिभा को कभी समझ ही नहीं पाया. ये समय फ़्रांस की राजनीति में भी उथल पुथल का युग था और राजनीति में भाग लेने के कारण समय-समय पर विद्यालय से बच्चे निकाले जाते रहे पर गैल्वा का ये दुर्भाग्य ही था कि उसका नाम ऐसी किसी सूची में कभी नहीं आ पाया. और वो विद्यालय में उपेक्षित होता रहा।

लाइसी-ले-ग्रांड में मुख्य रूप से ग्रीक और लैटिन पढाए जाते थे. इन विषयों में अच्छा नहीं कर पाने के कारण गैल्वा को नीचे की कक्षा में भेज दिया गया. इसी दौरान बोरियत से दूर होने के लिए गैल्वा ने गणित पढ़ना चालु किया. उस समय गणित सिर्फ एक वैकल्पिक विषय के रूप में पढाया जाता था और उसे अहमियत नहीं दी जाती थी. इन्हीं दिनों गैल्वा के हाथ लिजेंद्रे की लिखी ज्यामिति की किताब लग गयी. ये किताब पढ़ने-पढाने में साधारणतया दो साल लगते थे और केवल प्रशिक्षित गणितज्ञ ही इस किताब को पढते थे. एक महान गणितज्ञ द्वारा लिखी गयी यह मौलिक गणित की किताब थी. पर उस बालक ने कुछ ही दिनों में उस पुस्तक को निपटा डाला ! उन्हीं दिनों उसके हाथ में एक बीजगणित की पाठ्यपुस्तक भी लगी पर गैल्वा ने ये कहते हुए उसे नहीं पढ़ा कि उस पुस्तक में ‘सिरजनहार का स्पर्श’ (क्रिएटर'स टच) वाली बात नहीं है. यह एक पाठ्य पुस्तक थी ज्यामिती की उस किताब की तरह एक विद्वान का लिखा मौलिक ग्रंथ नहीं था॰ बाद में लाग्रंजे और एबेल के बीजगणितीय विश्लेषण की किताबों को गैल्वा ने पढ़ा. १४ वर्ष का यह बालक गणितीय उस्तादों की बातों में स्वाध्याय से ही निपुण हो गया. उसे एहसास भी हो गया कि वो खुद भी उन उस्तादों की तरह ही मौलिक सोच रखता है !

गैल्वा ने गणित कभी कागज-कलम लेकर नहीं पढ़ा. वो हमेशा सबकुछ अपने दिमाग में ही करता और इस कारण वो हमेशा एक औसत विद्यार्थी ही बना रहा. बहुत सी चीजें उसके लिए जाहिर सी बात होती थी और वो उन्हें कभी लिखता नहीं था. कक्षा में कभी ध्यान नहीं देकर अपनी ही सोच में खोया रहने वाला गैल्वा गुस्सैल किस्म का बालक भी था॰ जब उसकी बातों को लोग नहीं समझते तो उसका गुस्सा और क्षोभ और बढ़ता गया. उसके शिक्षक बुरे नहीं थे पर गैल्वा जैसे विद्यार्थी को समझ पाने के लिए मुर्ख थे ! गैल्वा अपने आप पर गर्वित होता और सोचता कि मैं महान गणितज्ञों के बराबर हूँ. पर उसके शिक्षक उसके आकलन में हमेशा ही टिपण्णी करते कि ‘यह विद्यार्थी अजीब (स्ट्रेंज) है’ ! कुछ ने जरूर कहा कि इसमें गणितीय कौशल है.

१६ वर्ष की आयु में उसने एक सवाल पर काम किया और एक गलत कल्पना की वजह से उसे लगा कि उसने उस सवाल को हल कर लिया है जिसे हल ही नहीं किया जा सकता. तब उसके शिक्षक वर्निअर ने उसे सलाह दी कि वो गणित व्यवस्थित तरीके से करे. लेकिन गैल्वा का ये तरीका आता ही नहीं था ! उसने फैसला किया कि वो इकोल पोलिटेक्निक में नामांकन लेगा जहां उसके प्रतिभा की सही पहचान होगी. इकोल पोलिटेक्नीक फ़्रांस में उस समय गणित का सर्वश्रेष्ठ केन्द्र था. पर वो प्रवेश परीक्षा में फेल हो गया. वहाँ भी शिक्षक उसके कौशल को समझ नहीं पाए. कुछ वर्षों बाद नोवेल्स ऐनल्ज डे मैथेमेटिक्स में टेरक्वेम ने इस घटना को याद करते हुए लिखा कि ‘उस दिन एक निम्न कोटि के परीक्षक ने एक उच्च कोटि के परीक्षार्थी को अस्वीकार किया था’.

१७ साल की अवस्था में गैल्वा का परिचय उच्च गणित के शिक्षक लुईस-पौल-एमिले-रिचर्ड नामक से हुआ. जिन्होंने पहली बार गैल्वा की प्रतिभा को थोडा बहुत समझा और उन्होंने कहा कि ये छात्र ‘फ़्रांस का एबेल है और इसका नाम इकोल पोलिटेक्निक में बिना किसी परीक्षा के लिखा जाना चाहिए’ ! उन्होंने गैल्वा को अपने विषय में प्रथम स्थान दिया और टिपण्णी में लिखा कि यह लड़का अपने बाकी सभी साथीयों से अधिक मेधावी है और उच्च गणित की समझ रखता है. गैल्वा ने इस प्रोत्साहन के बाद अपना पहला शोधपत्र १८२९ में छपने के लिए भेजा... अभी उसकी उम्र १८ वर्ष नहीं हुई थी. और और जीवन के २ वर्ष ही बचे थे। दुर्भाग्यवश उन दो वर्षों में भी केवल ट्रेजडी ही बची थी।

महान गणितज्ञ कौशी उस समय फ़्रांस में गणित के एक स्तंभ की तरह थे. उस समय के सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञ ! दुर्भाग्य ही है कि उन्होंने एबेल और गैल्वा दोनों को ही नजरअंदाज किया. उन तक पंहुचा गैल्वा का शोधपत्र कहीं खो गया... शायद उनके कचरे के डब्बे में ! विद्यालय उसी तरह गैल्वा को उपेक्षित करता रहा और कमजोर-असामान्य विद्यार्थी होने की सजा देता रहा.

गैल्वा ने एक बार फिर इकोल पोलिटेक्निक में प्रवेश लेने की कोशिश की और फिर से उसे असफलता ही हाथ लगी. अपने दिमाग में ही गणित हल करने वाले गैल्वा को ब्लैकबोर्ड, चाक और डस्टर का कोई उपयोग नहीं दिखा और ना ही वो सवालों का जवाब उस तरीके से दे पाया जैसा परीक्षक सुनना चाहता था. साक्षात्कार के बीच में ही एक बार फिर अपने आपको उपेक्षित होता और इकोल पोलिटेक्निक में पढ़ने की अपने जीवन की सबसे बड़ी आशा को विफल होता देख गैल्वा ने डस्टर का उपयोग आखिरकार किया और उसे चलाकर परीक्षक को दे मारा !

(जारी)

पाई बनाम टाऊ ! - गणित के कठिन होने का एक कारण?

2011-09-26T15:09:00.001+05:30

‘पाई गलत है !’

- इस नाम का एक आलेख और ‘टाऊ मैनिफेस्टो’ नामक एक अन्य दस्तावेज इन्टरनेट पर पिछले कुछ महीने में बहुत लोकप्रिय हुए हैं। इनका कहना है कि पाई गलत है ! और उसकी जगह टाऊ का उपयोग होना चाहिए।

टाऊ के समर्थकों का कहना है कि अगर पाई की जगह टाऊ इस्तेमाल करें तो गणित, भौतिकी इत्यादि में जहां कहीं भी पाई का इस्तेमाल होता है वो सब कुछ समझने में ज्यादा आसानी होगी और सब कुछ ज्यादा तर्कसंगत और इंट्यूटिव लगेगा।

पाई जो सदियों से गणित का सबसे लोकप्रिय अंक और प्रतीक रहा है को इन दस्तावेजों में गलत करार दिया गया है. सबसे पहले आपको काम की ही बात बता दूँ यहाँ पाई गलत होना (Pi is wrong !) कहना थोड़ा भ्रामक है। वास्तव में ये भी यह नहीं कह रहे कि पाई गलत है - बल्कि यह कि पाई अव्यवहारिक है। वैसे ही जैसे अपनी नाक को पकड़ना हो तो हाथ को गर्दन के पीछे से घुमाकर भी यह काम किया जा सकता है पर जब आसानी से नाक पकड़ी जा सकती है तो इतना करने का क्या लाभ? टाऊ समर्थकों के अनुसार टाऊ गणित समझने को थोड़ा आसान बनाता है - पाई थोड़ा कठिन !

पाई का अर्थ होता है वृत्त की परिधि और व्यास का अनुपात। टाऊ का अर्थ है वृत्त की परिधि और त्रिज्या का अनुपात। अर्थात टाऊ हुआ पाई का दोगुना ! बस इतनी सी बात है - पाई की जगह टाऊ बट्टे दो लिख देना है। और टाऊ का मान पाई का दोगुना अर्थात ६.२८...।

इससे गणित और साथ ही दूसरे किसी विज्ञान का कोई भी नियम नहीं बदलेगा। बस इतना होगा कि गणितीय सूत्र यथा नाम तथा गुण के थोडे करीब हो जाएँगे। और इस प्रकार गणित के नियम समझने में थोड़ी आसानी होगी।

अभी अधिकतर सूत्रों में २*पाई लिखना पड़ता है। टाऊ का इस्तेमाल करने पर बार बार २ नहीं लिखना पड़ेगा। बात बस इतनी सी ही नहीं है - एक पूर्ण फेरे से बने कोण को अभी हम २*पाई कहते हैं, आधे को पाई और एक चौथाई को पाई बट्टे २ इत्यादि। अगर हम एक फेरे से बने कोण को टाऊ कहने लगें तो आधे के लिए टाऊ बट्टे २ और चौथाई के लिए टाऊ बट्टे ४ कहेंगे जो ज्यादा इंट्यूटिव है। अगर हम पाई की जगह टाऊ लिखने लगें तो आश्चर्यजनक रूप से इंट्यूटिव लगने के अलावा गणित, भौतिकी और अभियांत्रिकी के कई कठिन सूत्र भी आसान हो जाएँगे ! जैसे गणित का वो खूबसूरत समीकरण जिसकी चर्चा इस पोस्ट में है वो कुछ यूं हो जाएगा...

इन दो दस्तावेजों में इसे बखूबी समझाया गया है।

१॰ पाई इज रोंग

२. टाऊ मैनिफेस्टो

इन्हें नहीं पढ़ना हो तो कोई बात नहीं लेकिन ये वीडियो जरूर देखें। ये लड़की गणित बहुत जल्दी में अच्छे से पढ़ाती है। ...असली 'क्यूट' मार्क देखकर ही गणित पढ़ना हो तो कुछ कुछ इसी टाईप का ही होगा :)

अंत में काम की बात: आगे से कभी बात चले तो कहिएगा कि गणितज्ञों ने ही उलटा पढ़ा दिया नहीं तो गणित तो सच में बहुत हल्का होता है। हमें तो बस पाई की जगह टाऊ पढ़ा दिया होता तो हम भी आज....! बात बस इतनी सी थी और...

वैसे इसके खिलाफ पाई समर्थकों ने भी पाई का मैनिफेस्टो बनाया है। और उधर जैसे ३/१४ (१४ मार्च) को पाई डे मनाया जाता है उसी तर्ज पर ६/२८ (२८ जून) को ताऊ डे मनाया जाने लगा है। आप पढ़ के आइये बहुत रोचक लिंक हैं।

~Abhishek Ojha~

इस पोस्ट को लिखवाने के लिए 'ब्रह्मांड निवासी - अन्तरिक्ष विचरईया' आशीषजी का शुक्रिया।

इस ब्लॉग के पोस्ट पर (इरिसपेक्टिव ऑफ अपडेट फ्रेक्वेंसि ऐंड क्वालिटी ऑफ पोस्ट) जरूर प्रतिक्रिया देने वाले डॉ अमर कुमार को ये ब्लॉग हमेशा बहुत मिस करता रहेगा। और इस बहाने उनसे होने वाली बातचीत को मैं :(

एक ख़ूबसूरत समीकरण

2011-06-12T06:07:00.001+05:30

बचपन में गणित की कक्षाओं में पढ़ाया जाता है वर्ग और वर्गमूल. वर्ग अर्थात किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा कर दिया जाय तो वर्ग निकल आता है. फिर पढ़ाया जाता है घात अर्थात किसी संख्या के ऊपर जितने का घात हो संख्या को खुद के साथ उतनी बार गुणा. फिर वर्गमूल, घनमूल इत्यादि. साथ में ये बताया जाता है कि वर्गमूल केवल धनात्मक संख्याओं का ही होता है. इन्हीं दिनों ज्यामिति में परिचय होता है वृत्त के परिधि, त्रिज्या से होते हुए ‘पाई’ नामक संख्या से भी. पाई किसी भी वृत्त के परिधि और व्यास के अनुपात से प्राप्त संख्या को कहते हैं. फिर थोडा और आगे बढ़ने पर लघुगणक (लॉगरिदम) पढ़ते हुए परिचय होता है एक और संख्या ‘इ’ से. (वैसे शायद इस संख्या से पहला परिचय कैलकुलस पढते हुए होता है). पाई और ई गणित ही नहीं विज्ञान और अभियांत्रिकी की हर शाखा में खूब इस्तेमाल किये जाने वाले अंक हैं. गणितीय शब्दावली में दोनों अपरिमेय और ट्रान्सेंडैंटल हैं. दशमलव के रूप में लिखा जाय तो दोनों अनंत तक जाते हैं…

फिर गणित पढते हुए एक दिन एक काल्पनिक संख्या आई से परिचय होता है. और इस संख्या से एक अलग अध्याय चालु होता है मिश्रित संख्याओं का. इन्हीं दिनों ये पता चलता है कि बचपन में पढ़ी गयी बात ‘वर्गमूल केवल धनात्मक संख्याओं का ही होता है’ उन्ही लोगों के लिए पढाई जाती हैं जिन्हें गणित बस जोड़-घटाव तक ही पढ़ना होता है. और -१ के वर्गमूल जिसे ‘आई’ भी कहते हैं के साथ एक नयी काल्पनिक दुनिया का आरम्भ होता है. ये काल्पनिकता भी खूब इस्तेमाल होती है. पाई, इ और आई संभवतः विज्ञान और अभियांत्रिकी के सबसे अधिक लिखे जाने वाले गणितीय अंक चिह्न अंक हैं.

इन तीनों अंको के साथ अगर जोड़-घटाव,गुणा-भाग आता हो तो इस समीकरण में इसके अलावा कुछ और नहीं है. लेकिन इस समीकरण का मतलब क्या है? महान गणितज्ञ ओय्लर का दिया गया ये समीकरण गणित का सबसे खूबसूरत समीकरण कहा जाता है. (समीकरण चित्र में)

विकिपीडिया क एक पैराग्राफ कुछ यूँ कहता है इस समीकरण के बारे में:

मैथेमेटिकल इंटेलीजेंसर पत्रिका के पाठकों के बीच कराये गए मत के अनुसार ओय्लर का तादात्मय ‘गणित का सबसे खूबसूरत प्रमेय’ है. इसी तरह फिजिक्स वर्ल्ड पत्रिका के पाठकों ने भी २००४ में इसे मैक्सवेल के विद्युत चुम्बकत्व के समीकरण के साथ ‘सर्वकालिक महानतम समीकरण’ चुना. २००६ में न्यू हम्प्शायर विश्वविद्यालय में गणित के प्रोफ़ेसर पॉल नहीन ने इस समीकरण पर ४०० पन्नों की ‘डॉ. ओय्लर'स फैबुलस फोर्मुला’ नामक किताब लिखी. इस पुस्तक में उन्होंने इसे ‘गणितीय सुंदरता का सुनहरा मानक’ होने की संज्ञा दी. कोंसटेंस रीड ने इसे ‘सम्पूर्ण गणित का सबसे प्रसिद्द सूत्र’ कहा. कहते हैं एक बार गणितज्ञ गॉस ने टिपण्णी की कि अगर ये सूत्र किसी गणित के छात्र को बताते ही अगर स्पष्ट रूप से समझ में ना आये तो वो छात्र कभी उत्कृष्ट गणितज्ञ नहीं बन सकता. उन्नीसवीं सदी के विख्यात दार्शिनिक, गणितज्ञ और हार्वर्ड विश्वविद्यालय के प्रोफ़ेसर बेंजामिन पियर्स ने एक व्याख्यान में इसे साबित करने के बाद कहा: ‘ये पूर्णतया विरोधाभासी है, हम इसे समझ नहीं सकते, हमें नहीं पता कि इसका अर्थ क्या है लेकिन चूँकि हमने इसे सिद्ध किया है तो हम जानते हैं कि ये सच है.’ स्टैंफर्ड विश्वविद्यालय के गणितज्ञ प्रो कीथ डेवलिन ने कहा ‘जैसे शेक्सपियर की एक लंबी कविता प्रेम के असली तत्व को कैद करती है, जैसे एक चित्रकार गहरी मानवीय सुंदरता को उकेरता है वैसे ही ओय्लर का समीकरण अस्तित्व की गहराई तक पंहुचता है’. [ये पूरा पैराग्राफ विकिपीडिया के एक पैराग्राफ का अनुवाद है. बुरे अनुवाद के लिये हमारी तरफ से ‘सॉरी’ रहेगा.]

एक अंक जो दशमलव में लिखने पर अनंत तक जाता है वो वृत्त के परिधि और व्यास से आया. साथ में एक वैसी ही अजीबो गरीब संख्या ‘इ’. ‘आई’ जो कि काल्पनिक है. और ओय्लर ने कहा कि ‘इ’ पर अगर ‘आई’ और ‘पाई’ के गुणनफल का घात लगा दें तो वो -१ हो जाएगा ! इतने अजीबो गरीब मिलन का इतना साधारण परिणाम ‘१’.

सबसे पहले तो हमने यही पढ़ा होता है कि किसी भी धनात्मक संख्या पर अगर किसी धनात्मक या ऋणात्मक संख्या का घात लगाएं तो परिणाम ऋणात्मक नहीं होता. अगर साधारण तरीके से सोचें तो एक काल्पनिक संख्या और ‘पाई’ के गुणनफल का कुछ अर्थ हो सकता है क्या? फिर ‘इ’ और उसके ऊपर ये विकट काल्पनिक घात. अगर बचपन की पढ़ी बात से समझें तो ‘इ’ को ‘इ’ से ही गुणा करना है, लेकिन कितनी बार? ‘एक काल्पनिक संख्या से गुणा किये हुए अनंत तक जाने वाली संख्या के गुणनफल के बराबर?’ ! विचित्र ! और इस विकटता का हल अत्यंत ही साधारण याने -१. (अगर e(x) का विस्तार और त्रिकोणमिति के sin(x) और cos(x) के विस्तार पता हों तो इसका प्रमाण भी ऐसा ही साधारण होता है.)

विकटता के मिश्रण से उपजी सरलता इस समीकरण को खूबसूरत बना देती है. मुझे अपने एक पुराने मॉडर्न आर्ट पर लिखे गए पोस्ट की याद आ रही है. अगर आपने यहाँ तक पढ़ा है तो इस समीकरण पर बने कुछ कार्टून भी देखते जाएँ. मैं क्या कहूँ. अपने काजल कुमार जी बेहतर व्याख्या कर पायेंगे कार्टूनी सुंदरता.

आई और पाई पर पर एक ये भी:

~Abhishek Ojha~

आंद्रे ब्लॉक: एक खतरनाक ज्ञानी

2011-05-29T13:10:00.001+05:30

रामानुजन के मार्गदर्शक और जी एच हार्डी के सहयोगी जे ई लिटिलवूड ने एक बार कहा था: 'गणित एक खतरनाक पेशा है, और हम गणितज्ञों में से एक अच्छा ख़ासा हिस्सा पागल हो जाता है'.

आंद्रे ब्लाक (Andre bloch) पिछली सदी के एक प्रसिद्द फ़्रांसिसी गणितज्ञ थे. मिश्रित फलन के सिद्धांतों (complex function theory) पर दिया गया उनका 'ब्लॉक प्रमेय' गणित के खूबसूरत प्रमेयों में आता है. आंद्रे ब्लॉक के बारे में कई विरोधाभासी कहानियाँ प्रसिद्द हैं. उन्होंने कई प्रसिद्ध गणितज्ञों के साथ पत्राचार तो किया पर कभी किसी से मिले नहीं. कहते हैं जोर्ज पोल्या ने जब उन्हें ज्यूरिक बुलाया तो उन्होंने ये कह दिया कि उनकी स्थिति ऐसी नहीं कि वो ज़्यूरिक आ सकें. जब पोल्या उनके बताए पते पर पँहुचे तो पता चला कि वो एक पागलखाने का पता था. पोल्या उस पागलखाने के दरवाजे से लौट आये. (वैसे बाद में पोल्या ने ऐसी किसी घटना के होने से इनकार किया.) एक और अजीब बात ये थी कि आंद्रे अपनी चिट्ठियों में दिनांक एक अप्रैल ही लिखते थे.

यहूदी परिवार में घडीसाज पिता के पुत्र आंद्रे अपने छोटे भाई के साथ एक ही कक्षा में पढते थे. कहते हैं आंद्रे के भाई ने जहाँ अच्छे अंक प्राप्त किये वहीँ आंद्रे अपनी कक्षा में आखिरी स्थान पर आये. पर फ़्रांसिसी गणितज्ञ अर्नेस्ट वेसीयट द्वारा लिए गए मौखिक परीक्षा के उन्हें २० में से १९ अंक प्राप्त हुए और उन्हें इकोल पोलीटेक्निक में नामांकन मिल गया. एक साल के भीतर ही प्रथम विश्वयुद्ध के चलते दोनों भाइयों को पढाई छोड कर सेना में भर्ती होना पड़ा. कुल मिलकर यहीं तक पढाई की आंद्रे ने. इसके बाद के ३१ साल का शेष जीवन पागलखाने में गुजारते हुए उन्होंने गणित पर अद्भुत शोध किये. द्वितीय विश्वयुद्ध के दौरान कुछ समय तक फ़्रांस का वो हिस्सा नाजी जर्मनी के कब्जे में था और इस दौरान आंद्रे ने अपनी यहूदी पहचान छुपाने के लिए छद्म नामों से भी शोध छपवाए.

उनके पागलखाने तक पहुचने के कारणों पर भी मतभेद तो थे पर सभी मतभेदों में एक बात सामान थी और वो थी नृशंस हत्या !

कुछ लोगों का कहना था कि उन्होंने अपने मकान मालकिन और सास की हत्या इसलिए कर दी क्योंकि वो बहुत शोर करती थी और इससे उनके काम में बाधा पड़ती थी. कुछ ने ये कहा कि उन्होंने अपने भाई से ईर्ष्या के चलते उसकी हत्या कर दी. क्योंकि उनका भाई उस समय एक विद्यालय खोलने की योजना बना रहा था. कुछ ने मंगेतर तो कुछ ने पत्नी की हत्या की बात की. कई लोगों ने धार्मिक बहस को इसका कारण माना.

कुछ किस्सों के अनुसार विश्वयुद्ध से लौटे फौजी अफसर होने के नाते उनकी इज्जत थी और इसी बात के चलते हत्यारा होने पर भी उन्हें मानसिक रोगी बताकर उन्हें अस्पताल में भर्ती करा दिया गया. २४ वर्ष की उम्र से लेकर १९४८ में मृत्यु तक वो मानसिक अस्पताल में ही रहे. हत्या की इस घटना के अलावा आंद्रे को एक शांत और मिलनसार व्यक्ति के रूप में जाना जाता था. लेकिन जो व्यक्ति हत्या कर दे… अपने ही परिवार के कई लोगों का उसका मिलनसार और विद्वान होना किस काम का ? !

कई कल्पित कथाओं के बाद कुछ शोध, चिट्ठियों और आंद्रे के सबसे छोटे भाई की लिखी किताब में बातें थोड़ी अलग हैं. उस हिसाब से आंद्रे युद्ध में घायल हो जाने के कारण कुछ दिन अस्पताल में बिताने के बाद सेना के लिए अक्षम घोषित होने के बाद घर लौटे थे और उनके भाई के सर में गोली लग गयी थी जिससे उनकी एक आँख भी चली गयी थी. फिर एक दिन खाना खाते समय आंद्रे ने अपने भाई, चाचा और चाची की हत्या कर दी. इसके बाद वो चिल्लाते हुए बाहर निकल गए और अपने आपको पुलिस के हवाले कर दिया. जहाँ से उन्हें मानसिक अस्पताल भेज दिया गया.

फ्रेंच अकादमी ऑफ साइंस ने उन्हें १९४८ के बेक्वेरेल पुरस्कार के लिए चुना था जो उन्हें उसी साल मरणोपरांत प्रदान किया गया. बिना किसी उच्च औपचारिक शिक्षा के आंद्रे ने गणित की कई शाखाओं पर शोध किया और कई गणितज्ञों के साथ शोधपत्र भी छपे. मुख्यधारा और दुनिया से पूरी तरह अलग रहने के बावजूद सीमित किताबों और पत्रों के माध्यम से वो गणित के विकास पर काम करते रहे.

उस समय के अस्पताल के मुख्य मनोवैज्ञानिक बरुक ने बाद में बिना आंद्रे का नाम लिए ‘चार्लटन का गणितज्ञ’ नाम से छपे लेख में लिखा कि आंद्रे ‘तर्कसंगत मानसिकता के रोगी’ थे. उनका तर्क था कि ये उनकी जिम्मेवारी थी कि परिवार के सुजनन (eugenic duty) के लिए उसकी एक शाखा को खत्म कर दिया जाय जो उनके हिसाब से दूषित थी. कई सालों के बाद अपने सबसे छोटे भाई से मिलने के बाद उन्होंने डॉक्टर को एक बार बताया कि ‘ये सब एक गणितीय तर्क पर आधारित है. मेरे परिवार में पहले मानसिक रोगी रहे हैं और उसे खत्म कर देने के लिए परिवार की एक शाखा को तर्क के हिसाब से खत्म हो जाना चाहिए. मैंने इसके लिए जो काम शुरू किया था वो अभी खत्म नहीं हुआ है’. उन्होंने डॉक्टर से ये भी कहा कि उनके तर्क में भावना का कोई स्थान नहीं और इसके लिए उन्होंने अलेक्जन्द्रिया की प्रसिद्ध गणितज्ञ हिपाटिया के सिद्धांतों का प्रयोग किया.

हिपाटिया पहली प्रसिद्द महिला गणितज्ञ के रूप में भी जानी जाती है. ईसाई कट्टरपंथियों ने ४१५ ई. में हिपाटिया की हत्या कर दी. शिष्यों के लिखे कुछ लेखों और पत्रों के अलावा हिपाटिया का कोई दर्शन बचा नहीं है. और कोई भी ये अनुमान नहीं लगा पाया कि आंद्रे ने किस सिद्धांत की बात की होगी. वैसे काफी बाद में लिखे गए एक उपन्यास में एक अनुच्छेद मिला जिसमें यह लिखा गया था कि हिपाटिया ने एक नरसंहार पर कहा की उसे इससे कोई फर्क नहीं पड़ता जब तक कुछ अर्ध-जानवर जिस मिटटी से आये थे अगर उसी मिटटी में कुछ साल पहले चले जाएँ और उससे दुनिया का पुनर्निर्माण और एक महान व्यवस्थित समाज बने.

लोग ये नहीं मान पाते कि एक उपन्यासकार की ऐसी कल्पित बात से आंद्रे प्रभावित हुआ हो. ये बिडम्बना ही होगी कि एक गणितीय विद्वान जिसे इस हत्या को छोड़ दें तो बहुत ही शांत और दयालु इंसान के रूप में देखा गया एक उपन्यास से इस तरह प्रभावित हो जाए. मानसिक अस्पताल के एक छोटी सी जगह में एक मेज पर काम करते रहने वाला आंद्रे अक्सर उस जगह को छोड़ अन्य जगहों पर भी जाने से मना कर देता. ‘गणित मेरे लिए पर्याप्त है’ कह कर टाल देने वाले आंद्रे के सबसे छोटे भाई की लिखी किताब के अनुसार वह बस अस्पताल में गणित के अलावा बस शतरंज खेलता और अत्यंत ही विनम्र किस्म का इंसान था जिसे अस्पताल के कर्मचारी एक आदर्श मरीज के रूप में देखते थे.

आंद्रे पत्रों में अपने पते के नाम पर बस मकान संख्या और गली का नाम दिया करता और ये कभी नहीं लिखता कि वो मकान नंबर वास्तव में एक मानसिक अस्पताल है. आंद्रे आजीवन कभी किसी गणितज्ञ से नहीं मिला. पारिवारिक, धार्मिक सुजनन के नाम पर कई नरसंहार हुए हैं. आंद्रे ने पता नहीं किस तर्क से परिवार वालों की हत्या कर दी. कोई भी तर्क मानव हत्या को उचित नहीं ठहरा सकता. वैसे ये एक रहस्य ही है कि ऐसा क्या था जिसने आंद्रे को ऐसा जघन्य अपराध करने को प्रेरित किया. मनोविज्ञान और गणितीय दर्शन दोनों के लिए अब भी ही ये एक रहस्य सा ही है.

~Abhishek Ojha~

१. Henri Cartan and Jacqueline Ferrand, The case of André Bloch

२. Douglas M. Campbell, Beauty and the beast: The strange case of andre bloch

अंको का विभाजन

2011-02-23T09:50:00.001+05:30

अंको की अपनी दुनिया है. इनमें डूबने वाले खूब गोते लगाते हैं. ऐसे ही गोते लगाने वालों में एक थे 'को नहीं जानत है जग में' की तर्ज पर प्रसिद्द गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन. इन्ट्यूशनिज्म के महारथी... ऐसे गणितज्ञ जो पता नहीं कैसे सोच कर ऐसी बातें लिखते जिन्हें समझना उस समय तो क्या अब भी मुश्किल है. ऐसे लोगों के बारे में कुछ भी कहना मुश्किल होता है क्योंकि एक तो अपने छोटे जीवन में वे बहुत कुछ कह नहीं पाए फिर जो कुछ कहा भी उसमें से दुर्भाग्यपूर्ण तरीके से बहुत कुछ खो गया… फिर जो कुछ मिला उसमें से कुछ बातें अपूर्ण ही मिल पायी... और फिर कुछ ऐसी भी मिली जिनका मतलब समझ पाना आसान नहीं. खैर इनके बारे में कभी पूरी श्रृंखला लिखने का मन है. फिलहाल उनके पहले पत्र से लेकर उनकी म्रत्यु के ५७ वर्षों के बाद ट्रिनिटी कॉलेज कैम्ब्रिज की लाइब्रेरी में मिले इनके कुछ नोट्स पर हुए शोध के बारे में. (जो बाद में दो अमेरिकी गणितज्ञों ने रामानुजन'स लोस्ट नोटबुक्स के नाम से प्रकाशित की, जिनमें से एक गणितज्ञ ने कहा था "The discovery of this Lost Notebook caused roughly as much stir in the mathematical world as the discovery of Beethoven’s tenth symphony would cause in the musical world." ). इस सवाल के शोधकर्ता को इस साल का फील्ड्स मेडल मिलना लगभग तय सा है.

ये गणित के उन सवालों में से है जिन्हें समझने के लिए बस जोड़ और गिनती आना पर्याप्त है पर हल होने में सदियाँ गुजर गयी. अब देखिये न कितना आसान है: ३ = १+१+१ = २+१ = ३. वैसे ही ४ = ३+१ = २+२ = २+१+१ = १+१+१+१ = ४. साधारण सा जोड़... और अंको के विभाजित करने का तरीका. जैसे ३ को १ और २ से जोड़ कर बनाया जा सकता है या १,१ और १ से और ३ एक खुद. इस तरह ३ को विभाजित करने के ३ तरीके हुए वैसे ही ४ को विभाजित करने के पांच तरीके होंगे. अब सवाल ये है कि किसी अंक को कुल कितने तरीके से विभाजित किया जा सकता है? बहुत ही साधारण सा सवाल है.

लेकिन ३ और ४ के लिए तो ठीक पर ये अंक जैसे जैसे बढते हैं इनके विभाजन के तरीके बड़े अजब-गजब तरीके से तेजी से बढ़ते हैं. जैसे अगर १०० को विभाजित करना हो तो कुल १९०५६९२९२ तरीके हो जाते हैं. अब १००० को करना हो तो कितना बड़ा अंक आ जाएगा ये आप इस लिंक पर देख आयें. थोडा और बढ़ा दें तो पता चले कि ये कम्पूटर भी ना निकाल पाए ! अब सवाल ये था कि कैसे निकाला जाय कि किसी अंक को कुल कितने तरीके से विभाजित किया जा सकता है?

पहली कोशिश महान गणितज्ञ ओय्लर साहब ने की थी. ओय्लर साहब ने जेनेरेटिंग फंक्शन और पावर सीरीज की मदद से सवाल को नए तरीके से लिखा. साधारण भाषा में कहने का मतलब ये कि वो कुछ ऐसा कह गए कि अगर दिल्ली से कलकत्ता की दुरी पता करना हो तो उसकी जगह अगर ये पता कर लें कि किस चाल से वहाँ पहुचने में कितना समय लगता है तो भी दूरी निकाली जा सकती है. पर दिल्ली से कलकत्ता जाए कैसे? ये किसी को अभी भी पता नहीं था. कहने का मतलब ये कि सवाल अभी भी हल नहीं हो पाया !

१९१३ तक इस सवाल की किसी को हवा तक नहीं लग पायी. फिर १९१३ में मद्रास के एक बालक ने इंग्लैण्ड के हार्डी को जो पत्र लिखा उसमें एक फोर्मुला था. जो गलत होते हुए भी इस सवाल का अब तक का सबसे महत्तवपूर्ण सुझाव साबित हुआ. और फिर बाद में रामानुजन ने एक फोर्मुला दिया और हार्डी ने मिलकर साबित किया. मेजर मैकमोहन ने किया जोड़ घटाव का काम (मेजर साब के बारे में फिर कभी). यह कालजयी सूत्र गणित में एक चमत्कार सा था. यह सही सही तो नहीं पर बहुत सटीक अनुमान देता था सवाल के उत्तर का कितने भी बड़े अंक के लिए.

उनेक बाद सवाल लगभग वहीँ का वहीँ पड़ा रहा. १९३७ में उनके नोट्स का इस्तेमाल कर हान्स रादेमचेर ने एक सूत्र बनाया पर वो भी अनंत अंको को जोडने वाला कठिन सूत्र था. फिर एमरी विश्वविद्यालय के प्रोफ़ेसर केन ओनो और उनके सहयोगियों ने पिछले महीने इस सवाल को हल कर लेने की घोषणा की. प्रोफ़ेसर ओनो कहते हैं कि ओय्लर ने जो दिया उससे गणित के ब्रह्माण्ड में बस मंगल ग्रह तक को देख पाने की सी बात थी. उससे १५० सालों में २०० से बड़े अंको का विभाजन नहीं किया जा सका. फिर रामानुजन ने गणितज्ञों को टेलीस्कोप दे दिया... जिसमें दूर के ग्रहों और तारों को देखने की क्षमता थी.

रामानुजन की डायरी में एक लाइन थी जिसमें उन्होंने लिखा था "there appear to be corresponding properties in which the moduli are powers of 5, 7, or 11... and no simple properties for any moduli involving primes other than these three." पर इसकी व्याख्या कर पाने के पहले ही ३२ वर्ष की उम्र में रामानुजन चल बसे.

कंप्यूटर और नए गणितीय खोजों के बावजूद रामानुजन के नोट्स गणितज्ञों के लिए विस्मय का कारण बने रहे और वो उस लाइन का मतलब ढूंढते रहे. फिर केन ओनो की टीम को पता लगा कि रामानुजन के टेलीस्कोप से जितना दिख रहा था उसके आगे ब्रह्माण्ड में देखने की जरुरत नहीं. क्योंकि उसके बाद यही दुनिया फिर से अपने को दुहरा रही है. उन्होंने अंको के विभाजन में फ्रैक्टल का सिद्धांत पाया. ओनो कहते हैं कि रामानुजन का no simple properties फ्रैक्टल ही हैं. इस तरह पिछले महीने ये सवाल हल हो गया. फ्रैक्टल अपने आप को अनंत तक दुहराने वाले पैटर्न होते हैं और केन ओनो की टीम ने अंको के विभाजन में यही पैटर्न ढूंढ निकाला है. जिसकी मदद से उन्होंने एक बीजगणितीय सूत्र निकाला है अंको के विभाजन को निकलने के लिए.

चलते-चलते*: बताता चलूँ कि रामानुजन के बारे में हम जितना सुनते-जानते हैं उससे कहीं ज्यादा महान गणितज्ञ थे. इतिहास में एक बार पैदा होने वाले एक महर्षि की तरह. उनके बारे में ३ महीने पहले (उनके जन्मदिन पर) जोर्ज ऐंड्रूस का लिखा लेख है: The meaning of Ramanujan: Now and for the future. जो कुछ यूँ शुरू होता है: In this paper we pay homage to this towering figure whose mathematical discoveries so affected mathematics throughout the twentieth century and into the twenty first. Whenever we remember Ramanujan, three things come most vividly to mind: (1) Ramanujan was a truly great mathematician; (2) Ramanujan's life story is inspiring; and (3) Ramanujan's life and work give credible support to our belief in the Universality of truth. We shall examine each of these topics in the next three sections. A careful examination of each topic should, at least, give us some inkling of the meaning of Ramanujan. (ऐंड्रूस को रामानुजन के नोट्स को ढूंढने का श्रेय जाता है. आजीवन वो रामानुजन के नोट्स पर काम करते रहे हैं.)

और दो महीने पहले ही खुद केन ओनो द्वारा अमेरिकन मैथेमेटिकल सोसाइटी में छपा ये आलेख: The last words of a genius. और अगर पढ़ सकें तो अपने भारत के इस अद्भुत गणितज्ञ के बारे में ये किताब जरूर पढियेगा. संघर्ष, बिडम्बना और प्रतिभा का अद्भुत संगम: The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan.

*अगर आपने यहाँ तक पढ़ा है तो बता दूं कि चलते-चलते के बाद के जो लिंक हैं वो पढ़ने की कोशिश कीजियेगा. जहाँ गणित दिखे उसे छोड़कर अंग्रेजी वाले पैराग्राफ ही सही. अच्छा लगेगा, इसकी गारंटी वैसे रामानुजन पर कभी फुर्सत में ढेर सारे पोस्ट लिखने का मन है.

~Abhishek Ojha~

तस्वीर: गणितीय सूत्र से बना फ्रैक्टल. इसे मैंने कभी गणितीय रंगोली नाम देकर इसी ब्लॉग के लिए बनाया था, उस पोस्ट पर कुछ और भी हैं. खूबसूरत लगे तो देख आइये. इसे देखने में क्या लजाना? वैसे भी गणितीय है

अंकों के देश में !

2011-02-13T11:22:00.001+05:30

गणित का मतलब हम अक्सर अंको से ही लगाते हैं. गणित माने जोड़, घटाव, गुणा और भाग. हमें लगता है बस यही है गणित. पर ये गणित तो बस अंको का गणित है. गणित तो बिन अंको के भी होता है। ... चलिये इसे हम अंकगणित कहते हैं. पर वास्तव में अंको का गणित भी इन अंकों तक ही नहीं है. संख्या सिद्धांत या नंबर थियोरी अंकगणित से कहीं अधिक विस्तृत होता है और इसमें अंको के गुण और उससे जुड़े नियम होते हैं. कुछ दिनों पहले मैथफेल नामक ब्लॉग पर आई ये तस्वीर मुझे बहुत पसंद आई थी. आज चलते हैं अंकों के देश में. पर जैसा कि ये तस्वीर कहती है अंकगणित गणित नहीं है !

वैसे गणित की सीधी सी परिभाषा तो ये हैं कि जो आसानी से समझ में आ जाए वो गणित नहीं है जैसे अंको तक का गणित आसानी समझ में आ जाता है तो गणितज्ञ उसे गणित ही नहीं मानते. अंको के लिए उन्होंने संख्या सिद्धांत बनाया. वैसे ही पिछली पोस्टों में जब गणित की खूबसूरती पर चर्चा चली थी तो मैंने लिखा था कि गणितज्ञ गणित के उन सिद्धांतों को गणित ही नहीं मानते जिनका उपयोग होने लगता है असली गणित को तो वो साश्वत सत्य की खोज और कविता सा मानते हैं. अब ये अलग बात है कि कहने वाले उसे ये कहते हैं कि अँधेरे कमरे में बैठ कर काली बिल्ली ढूंढने के सामान है ये गणित.... और मजे की बात है कि वो बिल्ली उस कमरे में होती नहीं ! पर ये तो हुई मजाक की बात. संख्या के सिद्धांत में अंको के नियम और नियमों से अंक बनाए जाते हैं. नहीं-नहीं मैंने गलत टाइप नहीं किया नियमों से अंक भी बनाए जाते हैं. अब एक नए तरह के अंकों की एक नयी ही दुनिया होती है. उसके अपने नियम होते हैं और उनको आपस में जोडने घटाने और गुणा भाग करने के नियम भी नए होते हैं.

अंको से हमारे दिमाग में जो सबसे पहले अंक आते हैं उन्हें पूर्ण अंक (...३,-२,-१,०,१,२,३,...) कहते हैं या प्राकृतिक संख्याएं (१,२,३...) सम, विषम, रूढ़ इत्यादि अंको के कुछ मौलिक गुणों के आधार पर अंको का वर्गिकरण होता है। जैसे जो संख्या 2 से विभाजित हो वो सम संख्या जो न हो वो विषम, जो किसी से भी विभाजित ना हो वो रूढ़। ये सभी गिनती वाले अंक हैं अब ये एक बड़े परिवार का हिस्सा हैं जिन्हे परिमेय अंक (रेशनल) कहते हैं। जैसे १/४,२/३,५/१ इत्यादि. अब आपने बट्टा या भिन्न के सवाल पढे होंगे। इनके अपने नियम हैं... अब इन परिमेय अंको के पड़ोसी अंक होते हैं अपरिमेय अंक। बहुत करीबी पड़ोसी… एक दूसरे के आजू-बाजू रहने वाले लेकिन दोनों के गुण आपस में नहीं मिलते। इनकी समस्या ये है कि इन्हें भिन्न या बट्टे में नहीं लिखा जा सकता। अब कितने भी करीबी पड़ोसी हों ये भिन्न नहीं होंगे तो अभिन्न कहना ही पड़ेगा। तो इस तरह बने परिमेय के पड़ोसी अपरिमेय !

ये सारे परिमेय और कुछ अपरिमेय जिस मुहल्ले में रहते हैं उसका नाम हुआ बीजगणितीय मुहल्ला. विभाजन के बाद कुछ अपरिमेयों ने परिमेयों के साथ रहने का फैसला किया होगा तो इन सबको एकसाथ बीजगणितीय अंक कहते हैं। बीजगणितीय मुहल्ले वालों का एक गुण ये होता है कि वे सभी एक खास तरह के समीकरण के हल (मूल) होते हैं। अब जो ऐसे समीकरणों के हल नहीं हो पाते वो बाजू के मुहल्ले में रहते हैं और उन्हें इस जटिल मुहल्ले वालों को ट्रैन्सन्डेन्टल अंक कहते हैं। बीजगणितीय और जटिल अंकों को मिलकर वास्तविक अंक नामक जिला बनता है।

अब आप कहेंगे सारे नंबर तो हो गए जिले तक ही। पर असली अंक तो अब चालू होते हैं ! इन जिलों के मण्डल को अतिवास्तविक या हाइपररियल अंक कहते हैं। इनके गुण का तो वही सिद्धान्त है कि जो किसी राज्य के निवासी का होता है वो पहले देशवासी है। पहले भारतीय फिर बिहार, बंगाल। तो उसी तरह जो अतिवास्तविक के गुण है वो वास्तविक के होंगे ही। इसके बाद आते हैं समिश्रित अंक याने काम्प्लेक्स अंक। वास्तविक और काल्पनिक अंको के जिलों को मिलकर बना समिश्र प्रांत। काल्पनिक अंक माने आई लगे अंक। जैसे 1+2आई. आई का मतलब होता है ऋणात्मक अंक का वर्गमूल... वही वाला वर्गमूल जिसके बारे में हम बचपन में पढ़ते हैं कि केवल धनात्मक अंको का ही वर्गमूल होता है। यहाँ भी चकमा दे गए न गणितज्ञ पढ़ा दिया कि धनात्मक अंको का वर्गमूल होता है और फिर पता चला कि ऋणात्मक का भी वर्गमूल होता है ! तो भैया इसका मतलब ये है कि गणित देश के छपरा से आगे ही नहीं जाएँगे तो पता कैसे चलेगा कि लखनऊ भी कोई जगह है ? दिल्ली, लंदन तो अभी दूर है ही।

अब इन मिश्रित संख्याओं के प्रांत को बढ़ा दें तो बृहतसमिश्रित प्रांत का नाम हुआ क्वाटरनायन। अब इस बृहत क्षेत्र में रहने वाले अंको की एक मजेदार आदत होती है कि एक को दूसरे से गुणा कर दो तो वही नहीं आता जो दूसरे को पहले से गुणा करने पर आता है। यानि यहाँ 2X3 अगर 6 होता है तो 3X2 कुछ और होगा ! अब अलग-अलग जगह के लोगों के अपने अपने तरीके हैं। वैसे ही इन अंको के अभी अपने नखरे हैं. ये समिश्रित अंको का एक तरह से 2 डायमेशन से तीन डायमेंशन में विस्तार है।

इस बृहत् प्रान्त के बाहर आते हैं ओक्टोनायन. इनके रंग, गुण और नखरे तो और भी अजीब होते हैं। यहाँ भी दो का आपसी गुणा आगे की जगह पीछे से कर देने पर अलग हो जाता है तो तीन अंक लेकर अगर पहले दो को गुणा करने के बाद तीसरे से गुणा किया जाय तो वही नहीं आता जो पहले आखिरी दो को गुणा करने के बाद पहले से गुणा करें ! आप ये कहें कि ओझवा बौरा गया है और अब गुणा भाग भी भूल गया. इसके पहले मैं ये सैर बंद कर देता हूँ फिर चलेंगे कभी अभी आप हवा खा के आइये.

~Abhishek Ojha~

ये ब्लॉग बंद सा हो गया था. धन्यवाद अनूपजी का जो उन्होंने आज याद और हमने एक पोस्ट ठेल दी. आपने झेला हो तो मेरे साथ उन्हें भी कोस लीजियेगा और जो धन्यवाद देना हो तो मुझे दे जाएँ. झूठा ही सही

एक मानचित्र में कितने रंग?

2010-04-19T04:15:00.000+05:30

कभी आपने सोचा है एक रंगीन नक्शे (मानचित्र) में कितने तरह के रंग प्रयोग किए जाते हैं? वैसे तो चाहे जितनी मर्जी इस्तेमाल किए जा सकते हैं लेकिन 1852 में एक नक्शे को रंगते हुए फ्रांसिस गुथरिए नामक एक वनस्पतिशास्त्री और गणितज्ञ के दिमाग में ये सवाल आया कि कम से कम कितने रंगों के इस्तेमाल से कोई भी नक्शा बनाया जा सकता है ताकि कोई भी दो पड़ोसी देशो को एक ही रंग में ना रंगना पड़े? देशों के आकार-प्रकार और हर देश के लिए पड़ोसी देशों की संख्या जो भी हो उन्होने अटकलबाजी करते हुए एक अनुमान लगाया कि इस सवाल का उत्तर चार रंग है. और चार रंग ही पर्याप्त हैं ऐसे किसी भी नक्शे को बनाने के लिए. इस अनुमान ने चार रंगों वाले कंजेक्चर को जन्म दिया.

गणित में अटकलबाजी का बड़ा महत्त्वपूर्ण स्थान है. अनुमान, अनुभव और अंतर्ज्ञान के आधार पर गणितज्ञ कोई बात कह देते हैं. जब तक ये बात सही या गलत सिद्ध नहीं हो जाती तब तक इसे अटकलबाजी ही तो कहेंगे ! तो इन्हें तब तक कंजेक्चर कहा जाता है, सिद्ध हो जाने के बाद ये कंजेक्चर प्रमेय हो जाते हैं.

फ्रांसिस के अनुमान के बाद सौ वर्षों से अधिक तक यह सवाल अनुमान ही बना रहा. चार रंग वाले सवाल (फोर कलर प्रोबलम) के नाम से प्रसिद्ध यह टोपोलोजी के सबसे प्रसिद्ध और ऐतिहासिक सवालों में से एक है. बाकी सवालों की ही तरह इसे भी हल करने के प्रयास होते रहे और कई लोगों ने इसे साबित भी कर दिखाया. इन कई लोगों के प्रमाण कई वर्षों तक मान्य भी रहे. पर कुछ सालों बाद इनमें गलतियाँ ढूँढ ली गयी. ऐसे ही एक प्रमाण को गलत साबित करते हुए 1890 में पार्सि जॉन हेवूड ने एक नया सिद्धांत दिया जिसमें उन्होने यह साबित किया कि पाँच रंगों से ऐसे नक्शे बनाना संभव है. पर वो ये नहीं दिखा सके कि चार रंगों में ही संभव है या नहीं ! तो मूल सवाल अभी भी बना रहा.

इस सिलसिले में ग्राफ थियरि और टोपोलोजी का खूब विकास हुआ. ग्राफ रंगने से जुड़े अनगिनत सिद्धांत और सवालों का जन्म हुआ. ग्राफ थियरि में इस सवाल को इस तरह देखा जाता है: हर देश को एक बिन्दु से निरूपित किया जाता है और हर पड़ोसी देश को एक रेखा से जोड़ दिया जाता है. फिर सवाल ये हो गया कि कितने रंग चाहिए जिससे एक रेखा से जुड़े कोई भी दो बिन्दु एक ही रंग में ना रंगे हो? वैसे तो लगता है... ठीक है रोचक सवाल है. लेकिन इसका क्या उपयोग है? इस सवाल का बड़ा व्यापक उपयोग है... जैसे टेलीकॉम कंपनियां अपना नेटवर्क डिजाइन करते समय इसका इस्तेमाल कुछ इस तरीके से करती हैं: कम से कम कितने ट्रांसमीटर में काम हो जायेगा और फिर उतने ट्रांसमीटर से नेटवर्क डिजाइन कैसे किया जाय?

हाँ तो ये रंगों का सवाल कंजेक्चर बना रहा और अंततः 1976 में इलियोनोई विश्वविद्यालय के वोल्फगैंग हेकेन और केनेथ एपेल ने घोषणा की ये चार रंगों वाला सवाल अब चार रंगों वाले प्रमेय के नाम से जाना जायेगा. यानि उन्होने इस कंजेक्चर को सिद्ध कर देने की घोषणा की. पर समस्या अभी गयी नहीं और इस हल ने एक नए विवाद को जन्म दिया. कई गणितज्ञों ने इस हल को मानने से इंकार कर दिया. इस हल में गणित के अलावा कंप्यूटर की मदद ली गयी. इस सवाल को हल करते हुए अंत में 1476 ऐसी अवस्थाएँ बची जिन्हें अगर एक-एक करके जाँच लिया जाय तो ये हल पूर्ण हो जाता. लेकिन इस जाँच में इतनी गणनाएँ थी कि इन्हें कागज-कलम और इंसानी दिमाग-समय में करना असंभव था. दोनों गणितज्ञों ने इस हिस्से को कम्प्युटर जनित अलगोरिथ्म्स से जाँच लिया (कम्प्युटर पर भी इन्हें जाँचने में हजारो घंटे लगे). पर कुछ गणितज्ञों की आपत्ति थी कि अगर कुछ गणनाओं में कहीं कोई गलती हुई तो? पर यह लगभग मान लिया गया कि फ्रांसिस का अनुमान सही था और चार रंग ही पर्याप्त हैं. तब से अब तक कई परिष्कृत प्रमाण दिये गए इस सवाल के. 2005 में माइक्रोसॉफ़्ट के जोर्जेस गोथिएर और इनरिया के बेंजामिन वर्नर ने इस प्रमेय का एक नया प्रमाण दिया पर वह भी कम्प्युटर आधारित ही है. पर इस प्रमाण में एक-एक करके जाँचने वाला चरण नहीं है. यह प्रमाण फंकशनल प्रोग्रामिंग लैंगवेज़ और कैलकुलस ऑफ इंडक्टिव कंस्ट्रक्शन पर आधारित इंटरैक्टिव थियोरम प्रूवर पर आधारित है.

बिना कम्प्युटर की मदद के इस प्रमेय का अभी भी कोई प्रमाण नहीं है. इस प्रमेय के हल के बाद कम्प्युटर वाली पद्धति का और भी कुछ सवालों के हल में इस्तेमाल हुआ है. वैसे ये पद्धति अभी भी विवादास्पद बनी हुई है !

इस सवाल से जुड़ी कई रोचक बातों में से एक यह भी है: 1975 में मार्टिन गार्डनर ने अप्रैल फूल जोक के रूप में एक 110 देशों का यह काल्पनिक मानचित्र बनाकर यह कहा कि इस मानचित्र के लिए 5 रंगों की आवश्यकता पड़ेगी और इस तरह चार रंगों वाला कंजेक्चर ही गलत है. पर बाद में यह दिखा दिया गया कि इस मानचित्र को भी 4 रंगों से रंगा जा सकता है.

~Abhishek Ojha~

इस पोस्ट के लिए उन्मुक्तजी का धन्यवाद. उन्होने पिछली पोस्ट पर की गयी टिपण्णी में इस सवाल पर लिखने का सुझाव दिया था.

कोनिसबर्ग के पुलों वाली पहेली और टोपोलोजी की शुरुआत

2010-03-23T04:30:00.001+05:30

कोनिसबर्ग के पुलों वाली पहेली एक सरल और रोचक ऐतिहासिक पहेली है. ये गणित की उन पहेलियों में से है जिन्हें समझना बिल्कुल ही आसान था, पर हल करना थोड़ा मुश्किल. कहते हैं टोपोलोजी की विचारधारा का जन्म इसी पहेली से हुआ. यह पहला सवाल हैं जहाँ पर टोपोलोजी के निशान देखे जा सकते हैं. यही नहीं गणित (और कम्प्युटर साइन्स) की एक प्रसिद्ध शाखा ग्राफ थियरि का विकास भी इसी पहेली से शुरू हुआ. तब जर्मनी के कोनिसबर्ग शहर जो अब कालीनीनग्राद के नाम सेजाना जाता है और अब रूस में स्थित है के प्रेगेल नदी से बने द्वीप और नदी पर बने सात पुलों ने एक पहेली को जन्म दिया. हालांकि द्वितीय विश्व युद्ध में इनमें से दो पुल ध्वस्त हो गए और उन पुलों में से अब बस पाँच (इन पाँच में से दो पुल उस समय के हैं, बाकी फिर से बनाये गए हैं) बचे हैं. कोनिसबर्ग के तब की तस्वीर का रेखाचित्र और अब के गूगल अर्थ की तस्वीर से तुलना की जा सकती है.

कोनिसबर्ग तब व्यापार का केंद्र हुआ करता और ये पुल शहर के अलग-अलग हिस्सों में जाने के लिए इस्तेमाल किए जाते. कोनिसबर्ग के किसी घुमंतू खुराफाती व्यक्ति के दिमाग में ये सवाल आया कि क्या किसी एक जगह से शुरू होने वाली ऐसी यात्रा संभव है जिसमें एक ही यात्रा में इन सातों पुलों को एक और बस एक ही बार पार किया जाय और उस जगह पर वापस आया जाय जहाँ से यात्रा शुरू की गयी थी. ना तो किसी पुल को दुबारा पार करना पड़े और ना ही आधा.

अब पहेली तो बन गयी पर ऐसा रास्ता कोई नहीं ढूँढ पाया. ना ही कोई ये सिद्ध कर पाता कि ऐसा संभव नहीं है. अगर आपको याद हो तो बचपन में हमसे भी कुछ होशियार बच्चे कहते कि बिना कलम उठाये एक विकर्ण सहित वर्ग बनाकर दिखाओ. अब बनाने की कोशिश तो हम सभी करते और अंत में कहते नहीं हो रहा ! कुछ ऐसी ही हालत कुछ वर्षों तक रही होगी कोनिसबर्ग में भी. फिर किसी ने 1736 में ये पहेली तब के प्रसिद्ध गणितज्ञ ओयलर को लिख भेजा. ओयलर सेंट पिटसबर्ग में रहते थे. और उस समय गणित के अलावा यांत्रिकी, भौतिकी और खगोलीय विषयों पर भी काम करते थे. अब इतने मशहूर व्यक्ति थे तो जाहिर है व्यस्त भी रहते थे. कहते हैं उस दौरान वो औसतन सप्ताह में एक शोध पत्र छापा करते. ओयलर को ये सवाल पहले तो बहुत हल्का और बेकार सा लगा पर फिर उन्होने स्वयं एक पत्र में लिखा 'ये मामूली सा सवाल है पर फिर भी मुझे यह समय व्यतीत करने लायक लगा क्योंकि ज्यामिति, बीज गणित और अंक गणित से इसे हल कर पाना संभव नहीं लगता. ' ओयलर ने इस सवाल को व्यापक बनाकर हल किया और यह दिखाया कि किन हालतों में (कितने पुल हो तो) ऐसी यात्रा संभव है. उन्होने यह भी दिखाया कि 7 पुल वाले मामले में ऐसी यात्रा संभव नहीं.
गौर करने की बात ये है कि इस पहेली में कौन सा पुल किस से कितनी दूरी पर है और किस पुल की लम्बाई कितनी है यह मायने नहीं रखता. संभवतः गणित का यह पहला ऐसा सवाल था जिसमें ज्यामिति जैसी स्थिति होते हुए भी नापने या अंकों की बात ही नहीं थी ! साथ ही यह भी मायने नहीं रखता था कि एक पुल से दूसरे पुल तक जाने का रास्ता सीधा था या टेढ़ा-मेढ़ा. ओयलर ने इसे ग्राफ थियरि से हल किया, इसे हल करने के सिलसिले ने ही ग्राफ थियरि को जन्म दिया और फिर आगे चल कर इन अवधारणाओं पर ही टोपोलोजी का जन्म हुआ. बाद के मशहूर ट्रावेलिंग सेल्समैन जैसे सवाल भी एक तरह से इसी श्रेणी में आते हैं. टोपोलोजी में एक जैसे सवालों/वस्तुओं/समुच्चयों का एक समूह होता है. जैसे यहाँ एक जगह से दूसरी जगह जाने के रास्ते के बीच की दूरी और सीधा-टेढ़ा होना माने नहीं रखता वैसे ही वहाँ एक गोले और घन में फर्क नहीं होता क्योंकि एक को पीटकर दूसरा बनाया जा सकता है. टोपोलोजी के इस सिद्धांत की चर्चा अगले पोस्ट में.
गूगल ने इस प्रसिद्ध पहेली से जुड़ी प्रेगेल नदी के नाम पर ही अपने एक ग्राफ कम्प्यूटिंग का नाम प्रेगेल रखा है.
और ये रही ओयलर के आरिजिनल पेपर से एक तस्वीर:

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पोस्टोपरांत अपडेट: (अभय तिवारी जी की टिपण्णी के बाद)
ओयलर का हल:
ओयलर ने इस पहेली को ग्राफ में परिवर्तित किया और जैसा कि मैंने ऊपर कहा इस ग्राफ में रेखाओं का सीधा-टेढ़ा होना और बिन्दुओं के बीच की दुरी मायने नहीं रखती. इस ग्राफ में बिंदु जमीन और सात रेखाएं सात पुलों को दर्शाती हैं. ओयलर ने कहा कि पहेली के हिसाब से अगर एक रास्ता ढूँढना है तो यात्रा करते समय बीच में आने वाले सारे बिन्दुओं पर एक आने का और एक जाने का रास्ता होना चाहिए. इस हिसाब से सारे बिन्दुओं पर रेखाओं की संख्या सम होनी चाहिए. केवल २ बिन्दुओं पर जहाँ से यात्रा शुरू हो और जहाँ ख़त्म हो केवल वहीँ विषम संख्या में रेखाएं हो सकती है. और अगर यात्रा जहाँ से शुरू करनी है वहीँ ख़त्म भी तो फिर सारे ही बिंदुओं पर रेखाओं की संख्या सम होनी चाहिए. पर इस ग्राफ में सभी बिन्दुओं पर विषम संख्या में रेखाएं हैं (३ और ५). इसलिए पहेली के हिसाब से यात्रा संभव नहीं है !
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~Abhishek Ojha~

एलिस इन वंडरलैंड और गणित ?

2010-03-08T04:27:00.000+05:30

टीम बर्टन की जॉनी डेप अभिनीत फिल्म 'एलिस इन वंडरलैंड' रिलीज हो गयी है और मुझे इंतज़ार है इसके पुणे में रिलीज होने का. फ़िलहाल सोने के पहले इस फिल्म से जुडी न्यूयोर्क टाइम्स में छपे इस आलेख पर नजर पड़ गयी. 'एलिस इन वंडरलैंड' के लेखक का गणितज्ञ होना और उनके जीवन काल में हो रहे गणित में परिवर्तनों का इस पुस्तक पर असर होने की सोच बड़ी कमाल की लगी कहाँ गणित और कहाँ एलिस इन वंडरलैंड ! दो अलग ही बातों की तुलना बड़े अच्छे ढंग से की गयी है.
नए गणित और उसके आविष्कार के इतिहास में अगर रूचि ना भी हो तो ये आलेख पढने लायक है. कैसे हम जो भी ~~लिखते~~(सोचते) हैं वो कहीं न कहीं हमारे परिवेश और हमारे अब तक के जीवन तथा कार्यक्षेत्र से प्रभावित होता है. भले ही देखने में बिलकुल हमारे कार्यक्षेत्र से अलग हो पर सोच कहीं न कहीं उससे प्रभावित तो होती ही है. जिस क्षेत्र में और जिस तरीके से हम काम कर रहे होते हैं (या करना पड़ता है) धीरे-धीरे उस तरीके से सोचने लगते हैं. आप आलेख लिंक पर पढ़कर आईये. घंटे भर लगाकर टाइप और ट्रांसलेशन का कुछ फायदा नहीं दीखता मुझे.

Algebra in Wonderland

दसवीं क्लास में एक श्लोक पढ़ा था, बाबा चाणक्य सही ही कह गए हैं:

दीपो भक्षयते थ्वान्तं काजलं च प्रसूयते.
यदन्नं भक्षयते नित्यं जायते तादृशी प्रजा.

जिस प्रकार दीपक अन्धकार को खाकर काजल को जन्म देता है उसी तरह इंसान के विचार भी वैसे ही होते हैं जिस प्रकार का अन्न वह खाता है और उसकी संतानें भी वैसी ही पैदा होती हैं.
अब यहाँ अन्न का मतलब डायरेक्ट अन्न ही तो नहीं है (विशेषज्ञ बतायेंगे कुछ)? हाँ उस जमाने में अन्न कमाने के लिए जिस तरह के काम किये जाते हो उसी काम की बात बाबा चाणक्य कर रहे थे होंगे*. मतलब जो काम करो, जैसा पढो, जैसे लोगों के साथ रहो वैसे ही विचार होंगे. अपनी सोच ऐसे ही तो बनती है. जीवन में साथ मिले/रहे लोग, घटनाएं, काम एक बड़ा प्रतिशत बनाते हैं हमारी पर्सनालिटी का. मुझसे किसी ने कहा तुम्हें सीधे-सीधे बात करनी ही नहीं आती. एक सीधी बात समझाने के लिए ऐसे उदहारण देते हो कि बात सुलझने के वजाय उलझ ही जाती है. [वैसे ये बात इसलिए भी कही गयी होगी क्योंकि सामने वाले को कुछ सीधे-सीधे सुनना होगा मेरे मुंह से ;) जो मैं कह ना पा रहा था होऊंगा*].

*हमारे इतिहास के शिक्षक प्रागैतिहासिक काल का इतिहास पढ़ाते समय 'थे होंगे' का बहुत इस्तेमाल किया करते थे, मुझे बड़ा अच्छा लगा करता था !
आप आलेख पढने जाइए, फुर्सत मिले तो उस पर सोचियेगा, अपने से जोड़कर... मजा आएगा :)

~Abhishek Ojha~

ये क्या उपयोग हुआ?

2010-01-28T04:27:00.000+05:30

टोपोलोजी शुद्ध गणित का एक विशुद्ध टाइप का ब्रांच होता है. एकदम अमूर्त... वो गणित जो बस इसलिये पढ़ा-पढ़ाया और विकसित किया जाता है क्योंकि बस गणित है. सालों तक कोई उपयोग या वास्तविक जीवन से जोड़कर नहीं देखा गया. ऐसे में अगर कोई पूछ ले: टोपोलोजी का उपयोग क्या है? तो ये सवाल बड़ा कठिन हो जाता है. अगर आपसे कोई पूछे कि अंकगणित का क्या उपयोग है, त्रिकोणमिति का क्या उपयोग है या फिर ज्यामिति का क्या उपयोग है तो झट से कुछ चित्र दिमाग में आते हैं. कुछ कोण, क्षेत्रफल, खगोल, गति, दूरी, ऊँचाई... इत्यादि. लेकिन टोपोलोजी का प्रत्यक्ष उपयोग देखने को नहीं मिलता और सीधा-सीधा उपयोग बता पाना थोड़ा मुश्किल है क्योंकि ऐसा उपयोग है ही नहीं. वैसे धीरे-धीरे टोपोलोजी के सिद्धांतों के कई उपयोग होने लगे हैं. इस ज्यामितीय सोच से कई बातों को समझने में सुविधा हुई है.

अगर कोई उत्सुक व्यक्ति गणित की अन्य शाखाओं के उपयोग के बारे में जानना चाहे तो उसे कोई वस्तु या कोई चित्र बनाकर संतुष्ट किया जा सकता है. अगर किसी टोपोलोजिस्ट से पूछा जाय तो वो भी शायद एक कैंची और कागज की सहायता से मोबियस स्ट्रिप (पट्टी) बना कर दिखा सकता है. उस पट्टी को काटकर और क्या बनाया जा सकता है ये भी दिखा सकता है. हाँ ये बात अलग है कि किसी भी सामान्य व्यक्ति का अगला सवाल ये होगा कि इस स्ट्रिप का अब मैं क्या करूँ? मोबियस स्ट्रिप एक ही सतह की ऐसी पट्टी होती है जिसपर अगर आप एक बिन्दु से चलना चालू करें तो उस पट्टी के हर भाग से घूमकर वापस उसी बिन्दु पर वापस आ सकते हैं बिना कभी किनारे को पार किए ! इस लिंक पर आप चींटियों का मोबियस स्ट्रिप पर चलना देख सकते हैं. इस स्ट्रिप की तर्ज पर ही एक क्लाइन बोतल भी होती है. घूम-फिर के वापस वहीं पर आ जाने वाली बात के चलते रिसाइक्लिंग का संकेत मोबियस स्ट्रिप पर आधारित होता है.

एक टोपोलोजिस्ट आपको एक धागे कि मदद से ये भी दिखा सकता है कि कैसे तीन छल्लों को आपस में इस तरह जोड़ा जा सकता है जबकि कोई भी दो आपस में ना जुड़े हो ! (बोरोमीयन रिंगस). अगर वो कुछ और उपयोग दिखाना चाहे तो कुछ पार्लर ट्रिक भी दिखा सकता है. जैसे बिना कोट उतारे अंदर के अँगरखे को उतरना संभव है या नहीं ! अगर पक्का टोपोलोजिस्ट हुआ तो ट्रिक तो दिखाने से रहा... कागज पर इस ट्रिक के पीछे का गणित घंटों तक जरूर लिख सकता है.

पर ये उपयोग टोपोलोजी के उपयोग का कार्टून बनाने की तरह है. इसके असली उपयोग गणितीय ही होते हैं. इन उपयोगों से मुझे अपने एक गणित के प्रोफेसर साहब याद आते हैं. वो कहते कि मैं घर बैठे अपने दोस्त के साथ या अकेले भी बैंडमिंटन खेल लेता हूँ ! हाथ में कागज और पेंसिल लेकर. मुझे इसके लिए न तो कोर्ट जाने की जरूरत पड़ती है ना भाग-दौड़ ही. लेकिन अगर कागज पर बैडमिंटन के समीकरण लिखे जायें तो इसे बैडमिंटन खेलना तो नहीं कह सकते न? ठीक इसी तरह ऊपर जो उपयोग मैंने बताये वो किसी तरह टोपोलोजी के कुछ वास्तविक उपयोग ढूँढने के प्रयास भर हैं.

पार्लर ट्रिक वाला उदाहरण थोड़ा बेहतर है. कुछ भी संभव है या नहीं? इस सवाल/प्रक्रिया को गणितीय/ज्यामितीय रूप में लिखकर फिर हाँ या ना में उत्तर निकालना... टोपोलोजी का एक अच्छा उपयोग है.

टोपोलोजी की बाकी कड़ियाँ:

टोपोलोजी और फक्का !

बंद भी खुला भी !

~Abhishek Ojha~

प्रायोगिक गणित के एक संस्थान की कल्पना

2009-12-23T04:30:00.000+05:30

(एक प्रांत के मुख्यमंत्री को एक अवकाश ग्रहण कर रहे प्रोफेसर द्वारा एक प्रायोगिक गणित और अर्थशास्त्र के संस्थान के लिए दिये जाने वाले प्रेजेंटेशन के लिए लिखे गए एक छोटे से स्लाइडनुमा लेख का अनुवाद)

आज प्रायोगिक और परिकलनात्मक गणित (Applied and Computational Mathematics) सारे शोध के विषयों में से सबसे अधिक अंतर्विषयक (interdisciplinary) है. इसमें दैनिक जीवन और वास्तविक दुनिया से जुड़े समस्याओं पर मॉडलिंग, एनालिसिस, एल्गॉरिथ्म विकास और सिमुलेशन शामिल है. केवल विज्ञान और अभियांत्रिकी में ही नहीं बल्कि मानविकी एवं सामाजिक विज्ञान में भी इन गणितीय तकनीकों का इस्तेमाल हो रहा है. ऐसा कहा जाता है कि गणित का उपयोग सभी संभव क्षेत्रों में होता है अगर कहीं नहीं हो रहा तो बस कुछ दिनों में ही होने लगेगा. गणित बाकी क्षेत्रों से (में) इस कदर जुड़ा (उलझा) हुआ है कि प्रायोगिक गणित का एक स्वतंत्र पूर्ण विभाग बनाना लगभग असंभव है. एक आदर्श प्रायोगिक गणित का संस्थान ऐसा होगा जो विश्व भर में उद्योगों, सरकारी विभागों और कारोबार से जुड़े वैज्ञानिकों, गणितज्ञों और अभियंताओं के एक बृहत समूह के साथ मिल कर एक दूसरे के लिए काम करे. ये संबंध रोचक और उपयोगी गणित के लिए प्रेरणा का काम करेंगे जो विज्ञान, अभियांत्रिकी और समाज को नयी ऊँचाई पर ले जाने में सक्षम होगा.

एक आदर्श गणित के विभाग में संवादात्मक अंतर्विभागीय शोध (interactive interdepartmental research) के वातावरण को बनाने की क्षमता होनी चाहिए जिससे छात्र अपनी रुचि के हिसाब से विज्ञान, खगोलशास्त्र, वित्त, मानविकी और अन्य विषयों का अन्वेषण कर सकें. यह गणित और उसके प्रयोगों के प्रति प्रेम रखने वालों के लिए एक प्लैटफ़ार्म की तरह होना चाहिए. इन सब के साथ विभाग के पास पूर्वस्नातक छात्रों को वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए उपयुकत गणितीय साधन, पद्धति और रणनीति सिखाने और अभ्यास कराने की क्षमता होनी चाहिए.

गणित विवेचनात्मक तर्क और लीक से हटकर सोचने की क्षमता (critical reasoning and out of box thinking) प्रदान करता है जिसे लगभग हर क्षेत्र में प्रयोग किया जा सकता है. एक पाठ्यक्रम की संरचना ऐसी होनी चाहिए जो शुद्ध गणित में छात्रों को बुनियादी रूप से मजबूत कर सके और पाठ्यक्रम में ऐसे समावेश होने चाहिए जिससे ये सीखा जा सकें कि गणित को कैसे वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने में उपयोग किया जा सकता है. पाठ्यक्रम के अंत में इन सीखे गए तरीकों के इस्तेमाल के लिए मौके उपलब्ध होने चाहिए जिसमें छात्र अपनी रुचि के हिसाब से चुने हुए क्षेत्र में विशिष्टता प्राप्त कर सके. विशिष्टता के इन विषयों की सूची बहुत लंबी होनी चाहिए जो विभाग में उपलब्ध आधारभूत सुविधाओं और अध्यापक मण्डली पर निर्भर होगा. मोटे तौर पर इसे तीन वर्ग में बांटा जा सकता है सांख्यिकी, शुद्ध एवं प्रायोगिक गणित, सैद्धांतिक संगणना. इनके प्रयोगों की सूची लंबी है जिसे सूचीबद्ध करना संभव नहीं दिखता.

गणित ने लड़ाइयाँ जीती है. गणित की एक शाखा का नाम ‘ऑपरेशनस रिसर्च’ ही इसीलिये पड़ा क्योंकि उसका विकास द्वितीय विश्वयुद्ध के समय युद्ध रणनीति बनाते समय हुआ. वालस्ट्रीट गणितीय फोर्मूलों पर चलता है, किसी भी नयी दवाई को बाजार में लाना हो या मौसम की भविष्यवाणी करनी हो या फिर नए मौद्रिक नीति की घोषणा करनी हो... गणित के प्रयोगों की सूची कभी नहीं ख़त्म होने वाली.

देश में मौजूदा गणित के विभागों में से कोई भी प्रायोगिक गणित के प्रति ये रवैया नहीं अपनाता. अमेरिका में सांख्यिकीविद् और बीमांकिक श्रेष्ठ नौकरियां मानी जाती है. कुछ पद जहाँ गणितज्ञों की जरूरत होती है:

वित्त अभियंता
सैद्धांतिक भौतिकशास्त्र
परफॉर्मेंस अभियंता
सरकारी सांख्यिकीविद्
गणितीय परामर्शदाता (जेट इंजिन डिज़ाइन, एयरक्राफ्ट डिज़ाइन, नेटवर्क डिज़ाइन इत्यादि)
बीमांकिक
बाजार विश्लेषक
सुरक्षा विश्लेषक
चिकित्सा संबंधी सांख्यिकीविद्
सांख्यिकी परामर्शदाता (दवाई संबंधित शोध, कृषि शोध, सामाजिक मुद्दों पर शोध, नीति निर्माण इत्यादि)
ऐरोड्यनामिक्स
द्रव्य अभियांत्रिकी (फ्लुइड मेकेनिक्स)
अर्थशास्त्रीक मॉडलिंग
ओप्टीमाइज़ेशन परामर्शदाता
मौसम भविष्यवाणी
कलनात्मक जीवविज्ञान
एनिमेशन और फिल्म निर्माण
...

हमारे देश में एक ऐसे विभाग की जरूरत है जो युवाओं का इन क्षेत्रों से परिचय करा सके. एक ऐसा विभाग जो विश्लेषणतामक निर्णय लेने वाले युवकों को तैयार कर सके. ऐसे विभाग की अध्यापक मण्डली और शोध समूह कुछ ऐसे होने चाहिए:

वित्तीय अभियांत्रिकी
एकोनोमेट्रिक्स
प्रायोगिक सांख्यिकी और प्रायिक कलन (Stochastic Calculus)
कोंबिनटोरिक्स (Combinatorics)
कम्प्यूटेशनल मोलेक्युलर बयोलॉजी
प्रायोगिक अभियांत्रिक गणित/प्रायोगिक ओप्टीमाइज़ेशन
ऑपरेशनस रिसर्च
सैद्धांतिक कम्प्युटर साइन्स/अलगोरिथ्म्स
क्वांटम कम्प्यूटिंग
सैद्धांतिक भौतिकी/कंडेंसड मैटर फ़िज़िक्स
फ्लुइड ड्यनामिक्स
क्रिप्टोलोजी
गेम थियोरी
इत्यादी...

~Abhishek Ojha~

बंद भी खुला भी !

2009-11-24T04:30:00.000+05:30

टोपोलोजी की बात शुरू होने के पहले बंद हो गयी. बात प्रस्तावना से आगे बढ़ी ही नहीं. 'शुरू होने से पहले ही बंद...? !' अब बात थी टोपोलोजी की तो ऐसा ही होना था. इससे याद आया एक उदहारण जो उस किताब में है जिसने हमारा और टोपोलोजी का पहला परिचय कराया. जेम्स मुन्क्रेस की किताब 'टोपोलोजी'. टेक्स्टबुक के रूप में शायद दुनिया के सभी बड़े स्कूलों में उपयोग की जाती है. उदहारण कुछ ऐसा है... एक समुच्चय (सेट) और दरवाजे में फर्क ये है कि दरवाजा एक समय पर या तो खुला रह सकता है या बंद... पर एक समुच्चय खुला (ओपन सेट) भी हो सकता है बंद (क्लोज सेट) भी, और खुला और बंद दोनों हो सकता है ! पहली बार पढ़ा था तो मजा तो आया था. साथ में ये भी लगा था ससुर समुच्चय ना हुआ अजूबा हो गया. वैसे टोपोलोजी अजूबा ही है [बस समझ में आना चाहिए, मुझे बहुत ज्यादा नहीं आता :) एक ईमानदार स्टेटमेंट दे रहा हूँ. अब इंसान एक समय पर ईमानदार और बेईमान दोनों तो नहीं हो सकता !]

टोपोलोजी गणित कि नयी शाखाओं में से है. करीब ९० साल पहले इसे गणित की एक स्वतंत्र शाखा के रूप में पहचान मिली तो इससे जुड़े लगभग सारे महत्तवपूर्ण सिद्धांत पिछले ५० सालों में दिए गए. पर शुरुआत तो कोनिग्स्बर्ग के पुलों वाले सवाल से ही मानी जाती है जिसका हल अठारहवी सदी में हुआ. इस सवाल की चर्चा अगली पोस्ट में. टोपोलोजी को गणित की कई पुरानी मान्यताओं में क्रातिकारी परिवर्तन लाने के लिए जाना जाता है. और और गणित को सिर्फ 'अंको की भाषा' वाली परिभाषा से बाहर लाकर खड़ा करने में में तो सबसे ज्यादा योगदान टोपोलोजी का ही है. शुरुआत में यह गणित की कुछ शाखाओं से सम्बंधित था और अक्सर इसे ज्यामिति की शाखा समझ लिया जाता था. पर अब स्वतंत्र रूप से टोपोलोजी ने गणित की सभी शाखाओं के अलावा विज्ञान की कई शाखाओं को प्रभावित किया है. मोटे तौर पर टोपोलोजी एक ज्यामितीय 'सोच' है. जिसमें कई वस्तुओँ के सामूहिक ज्यामितीय गुणों का अध्ययन किया जाता है. यह गणित की एक क्वांटीटेटिव ना होकर क्वालिटेटिव (किसी भी वस्तु के गुण के बारे में अध्ययन से सम्बंधित) शाखा है. इसे इस तरह समझा जा सकता है... इसमें किसी सवाल को हल करने की जगह उसके गुणों का अध्ययन किया जाता है. हल करने की जगह ये देखा जाता है कि हल संभव भी है या नहीं. गणित की कई शाखाओं को एक सूत्र में जोड़ने का श्रेय टोपोलोजी को जाता है. एक ऐसी विचारधारा का विकास जिस पर गणित के कई सिद्धांत आधारित हैं. एक प्रयास जो गणित के अब तक विकसित सिद्धांतों को एक सोच के अन्दर समेट सके.

टोपोलोजी शुद्ध गणित की एक प्रतिष्ठित शाखा है. जिसमें स्वयंसिद्ध परिभाषित किये जाते हैं फिर उनका इस्तेमाल कर प्रमेय, फिर उन्हें साबित किया जाता है. 'किसी भी वस्तु से सम्बंधित सवालों के बारे में एक गुण को लेकर उसे सही या गलत साबित करना' इसी अवधारणा पर टोपोलोजी का विकास हुआ. पहले ऐसे कई सवाल हुआ करते थे जिन्हें हल करने के लिए लोग सदियों तक लगे रहे, बिना ये सोचे कि हल संभव भी है या नहीं ! टोपोलोजी की मदद से ऐसे कई सवाल सहज हुए. कई सवालों के लिए यह साबित किया गया कि इनका हल संभव ही नहीं है तो कई अन्य के लिए ये कि ऐसे कई सवालों का हल एक ही है और इनमें से किसी एक को भी हल किया गया तो सारे हल हो जायेंगे. टोपोलोजी में मात्रा या परिमाण(क्वांटिटी) मायने नहीं रखते पर उनके गुण मायने रखते हैं. जैसे पुणे और दिल्ली के बीच में कहीं से कर्क रेखा गुजरती है या नहीं ऐसे सवालों के जवाब टोपोलोजी के दायरे में आयेंगे. कहाँ से गुजरती है ये टोपोलोजी के लिए मायने नहीं रखता.
काश जिंदगी और मानवीय सोच भी गणित की तरह होते और उन्हें एक सूत्र में पिरोया जा सकता ! टोपोलोजी जैसे गणित ज्यादा पढने वाले शायद यही सब सोच कर फिलोस्फर (पागल?) हो जाते हैं.

बस आज के लिए इतना ही अब ये श्रृंखला चालु कर दी है तो ख़त्म भी करूँगा ही. कब और कितने दिनों के अन्तराल पर पोस्ट करूँगा ये मायने नहीं रखता :)

~Abhishek Ojha~

गणितीय नेकलेस

2009-07-09T10:58:00.000+05:30

पहले तो सोचा कि शीर्षक रखा जाय 'गणितीय हार'। लेकिन फिर लगा की इसका मतलब कहीं 'गणित से हुई हार' या 'गणित की हार' ना निकल जाए। वैसे तो युद्ध में गणित का इस्तेमाल खूब हुआ लेकिन असल में हार-जीत में कितना प्रभावी हुआ इसका ठीक-ठीक हिसाब किसी ने नहीं लगाया। युद्ध में किस तरह इस्तेमाल होता था वो फिर कभी। पहले तो आप ये 'हार' देखिये। ये फ्रैक्टल से प्रेरित होकर बनाया गया है। और इसका नाम रखा गया है 'जूलिया नेकलेस'।

फ्रेंच गणितज्ञ गेस्टन जूलिया* के नाम पर। उनके नाम पर गणित में जूलिया समुच्चय (जूलिया सेट) होते हैं जिनका फ्रैक्टल के सिद्धांतों से गहरा नाता है। बात तो टोपोलोजी की करनी थी लेकिन इस हार ने मन मोह लिया तो आज यही सही। यह नेकलेस फ्रैक्टल से प्रेरित है, दिवाली पर मैंने कुछ फ्रैक्टल पोस्ट किए थे 'गणितीय रंगोली' के नाम से। कुछ फ्रैक्टल के चित्र आप वहां देख सकते हैं। फ्रैक्टल का एक महत्वपूर्ण गुण रिपीटेटिव पैटर्न होता है। अर्थात फ्रैक्टल एक छोटा से छोटा हिस्सा भी पूरे हिस्से का एक छोटा रूप होता है।

बुशेरोन कंपनी के लिए डिजाइनर मार्क न्यूसन द्वारा डिजाईन किये गए २००० हीरों और और नीलम जड़े इस हार को बनाने में १५०० घंटे लगे। संभवतः ये बुशेरोन कंपनी द्बारा बनाया गया अब तक का सबसे महंगा नेकलेस है।

~Abhishek Ojha~

*जूलिया पुरूष गणितज्ञ थे।

साभार यहाँ और यहाँ से।

टोपोलोजी और फक्का !

2009-06-30T04:30:00.000+05:30

पहले परिचय फक्का से. वाक्य प्रयोग के हिसाब से फक्का या तो खाने की चीज होती है या लगने वाली. पर वास्तव में कम से कम खाने की तो नहीं होती ! हमारे कॉलेज में ग्रेडिंग होती है और 'ए' से 'एफ' तक (‘इ’ छोड़कर) ग्रेड मिलते हैं. कॉलेज शब्दावली में इन्हें क्रमशः इक्का, बिक्का, सिक्का, डिक्का और फक्का कहा जाता है. अब तो आप समझ ही गए होंगे फक्का मतलब न्यूनतम ग्रेड अर्थात फेल ! तो ये शब्द खूब इस्तेमाल होता था. वैसे फक्का शब्द का मूल शब्द 'एफ' ग्रेड है या ‘चार अक्षरीय एफ शब्द’ कई चर्चाओं के बाद भी ये अब तक अनजान ही है. विद्वानों में इस पर मतभेद है और जब तक कोई भाषाविज्ञानी इस पर काम नहीं करता हम ये मानते हैं कि फिलहाल दोनों ही संभव है. :)

अब बात टोपोलोजी की. टोपोलोजी गणित की एक मुख्य शाखा है. वैसे नाम सुनकर तो यही लगता है कि कुछ ऐसा गणित होता होगा जिसमें टोपने की कला सिखाई जाती होगी ! टोपने के फोर्मुले ! (अब टोपना क्या होता है ये नहीं पता तो किसी भी कनपुरिये से पूछ लीजिये. मुझे पूरा यकीन है कि से शब्द कैम्पस के बाहर से आया होगा). पर जब पता चला कि टोपोलोजी निर्विवाद रूप से सबसे ज्यादा फक्के लगाने (खिलाने) वाला कोर्स होता है तो लगा कि टोपोलोजी शायद इसलिए कहते होंगे क्योंकि इसमें टोप के भी कोई पास नहीं हो पाता. अक्सर परीक्षा के पहले ये बात उठती… ‘टोपोगे तो किसका?’ एक आध जिनको समझ में आता वो टोपा-टापी से दूर ही रहने वाले विजातीय लोग हुआ करते थे. और हर बार दो तिहाई क्लास फक्का खा जाती. तो गणित नहीं हॉरर हुआ करता था. और भय फर्स्ट इयर से ही चालु हो जाता. अब मध्यकालीन भारत में नादिरशाह आया होगा... तब फ़ोन तो नहीं था फिर भी २-४ गाँव तक आतंक की खबर तो पहुचती ही होगी. वैसे ही भरपूर आतंक हुआ करता टोपोलोजी का भी.

कुल मिला के टोपोलोजी का आतंक और फक्को से बड़ा गहरा नाता रहा है. वैसे अजीब विषय है जिनके नंबर आते हैं उनके पूरे आते हैं और बाकी खाता ही नहीं खोल पाते खोलते भी हैं तो ५-१० से आगे नहीं बढ़ पाते. बीच के नंबर लाने वाले बिरले ही होते हैं. पूरी तरह से से अब्सट्रैक्ट गणित होता है जिनको समझ में आये तो एकदम ही. ना आये तो फिर... !

वैसे एक बार इलाहबाद में स्थित एचआरआई में एक कांफ्रेंस में एक हमउम्र विद्यार्थी से मुलाकात हुई तो उसने बताया 'इस साल तो टोपोलोजी जैसे कुछ स्कोरिंग पेपर थे तो अच्छे नंबर आ गए !' हम तो उसे बड़ी इज्जत कि नजरों से देखे. क्या तेज लड़का है ! फिर उसने बताया '२०-२५ सवाल रट लेने होते हैं और हर साल वही तो आता है पेपर में !'. इससे हमारी उच्च शिक्षा के स्तर का पता चलता है, कितनी मददगार है न !. खैर हमें तो बहुत दुःख हुआ... काश ! हम भी वैसे पास हुए होते. कहाँ हमारे क्लास के रणबांकुरे चौथी बार में पास हुए थे. खैर आपको बता देता हूँ भले किसी लड़की से उसकी उम्र १० बार पूछियेगा किसी आईआईटी कानपुर/दिल्ली में पढ़े इंसान से टोपोलोजी का ग्रेड और कितनी बार में पास हुआ ये मत पूछियेगा. मैं बस इतना बताये दे रहा हूँ कि एक बार में ही पास हो गया था अब ग्रेड तो नहिये बताऊंगा चाहे कुछ भी हो जाए :)

हाँ तो अब मन किया... थोडा आपको बता दिया जाय कि ये चीज क्या होती है ! गणित की इस शाखा और इससे जुड़े कुछ गणितज्ञों के बारे में अगली कुछ कड़ियों में. वैसे एक बात है अगर कोई अच्छा पढाने वाला हो और टोपोलोजी को फील करने वाला इंसान तो फिर ये आनंद की प्राप्ति करने वाला होता है. वैसे मुझे कभी फीलिंग नहीं आ पायी पर कुछ बातें बड़ी रोचक लगी और इससे जुड़े कुछ लोग तो... !

घबराइये नहीं रोचक कहानिया, किस्से और इतिहास ही होगा और आप सब को इक्का तो मिलेगा ही.

~Abhishek Ojha~

ब्लॉग्गिंग के खतरे: भाग ५

2009-06-23T04:30:00.000+05:30

पिछली पोस्ट से जारी...

कुछ ब्लॉग व्यवसायिक होते हैं, जैसे कम्पनियों के ब्लॉग. उनके लिए अक्सर ये ब्लॉग समस्या कड़ी कर देते हैं. कानूनी अडचनों के अलावा अक्सर आन्तरिक खबर और व्यवसाय की गोपनीयता/रणनीति सार्वजनिक हो जाती है. अगर ऐसी ब्लॉग्गिंग आपका पेशा है तो भाई ये सब तो आप को पता ही होगा ! अगर नहीं है तो हम आपको फोकट में क्यों बताएं :) यहाँ तो हम जैसे टाइम पास ब्लोगरों के लिए बकबक की जा रही है.

तो हम जैसे लोग आप इस बात का ध्यान रखिये... अगर बॉस की बुराई करनी हो, उससे कुछ विवाद चल रहा हो, कुछ आपसी मतभेद या शिकायतें हैं तो उन्हें ब्लॉग से दूर ही रखो तो बेहतर है. नौकरी का खतरा तो वैसे पिछली पोस्ट में आ ही गया था. अगर ज्यादा व्यक्तिगत बातें तलाक करवा दें तो आर्श्चय नहीं ! अरे जब खर्राटे लेने तक से तलाक हो सकता है तो ब्लॉग्गिंग की माया तो… ! हाँ एक बात फिर से कहना चाहूँगा. अगर आपको लगता है कि आपका ब्लॉग बहुत कम लोग पढ़ते हैं तो ये आपकी गलतफहमी है. भले ही बहुत कम लोग पढ़ते हैं पर आप जिसके बारे में लिख रहे हैं उसे तो पता चल ही जाएगा. भले ही वो बुरकीना फासो में रहता हो और उसने हिंदी का नाम भी नहीं सुना हो !

टिपण्णीयों और ब्लॉग पर दिखने वाले विज्ञापनों में अगर अश्लील सामग्री दिखने लगे तो... ? कुछ दिनों पहले रवि रतलामीजी ने इस पर एक पोस्ट लिखा था. और कल ही एक प्रतिष्ठित ब्लोगर के ब्लॉग पर लडकियां उपलब्ध करवाई जा रही थी. तो अब हम क्या कहें ! इसके साथ अगर कोई (स्पैम) टिपण्णी में वायरस या ऐसा ही अश्लील लिंक हो तो आप वहां तक चले ही जायेंगे. अगर वायरस जैसा कुछ हुआ तो क्या-क्या हो सकता है आप जानते ही हैं.

एक रोचक और खतरनाक खतरा है. मुंबई हमलों में खबर आई कि आतंकवादी भीतर बैठे ट्विट्टर पर अपडेट देख रहे हैं. वैसे अपने सजग और बुद्धिमान (?) टेलिविज़न चैनलों के होते हुए उन्हें ये करने की जरुरत पड़ी हो ऐसा लगता तो नहीं. फिर भी ये खतरा तो है ही. और हड़बड़ी में लोकप्रिय होने के लिए लोग धकाधक सनसनी खेज खबरें तो ठेलते ही हैं ! खासकर उन्हें जिन्हें ऐसी खबरें मिलती हैं उन्हें सावधानी तो बरतनी ही चाहिए.

इसके अलावा अगर आपने कुछ विवादस्पद [थोडा ज्यादा सच :)] लिख दिया और दंगे-वंगे हो जाएँ तो बड़ी बात नहीं होगी. इसीलिए शायद कहा जाता है सच और सच के सिवाय कुछ नहीं. ज्यादा और कम सच कुछ नहीं होता या तो सच होता है या झूठ. सच और झूठ बाइनरी है जी… बस ० या १ होता है बीच का नहीं. तो सच से ज्यादा या कम लिखने पर दंगे हो गए तो फिर अब इससे बड़ा खतरा क्या होगा? आप अपने को सच भी साबित नहीं कर पायेंगे जी !

इस पूरी श्रृंखला में छोटे-बड़े जो भी खतरे आये इनमे से ऐसा कोई नहीं जिसे लेकर ब्लॉग्गिंग बंद कर दी जाए. सभी से सावधानी बरतने का संकेत जरूर मिलता है.

और फिर अंत में गोल-गोल घुमने के बाद फिर वही बात जहाँ से चालु हुई थी. ये कोई खतरों की एक्सटेंसिव सूची नहीं है. और असली खतरें तो वो होते हैं जो कोई सोच/देख/गिना नहीं सकता. असली अप्रत्याशित खतरे तो ऐसे होते हैं: 'न त्वत्समोऽस्त्यभ्यधिकः कुतोऽन्योलोकत्रयेऽप्यप्रतिमप्रभाव'. नसीम तालेब के ब्लैक स्वान की तरह जब तक कोई काला हंस ना दिख जाए सब यही मान के चलते हैं कि हंस तो बस श्वेत ही होता है ! वैसे ही जब तक पहली बार कोई अप्रत्याशित घटना नहीं हो जाती हमें सब सुरक्षित ही लगता है. वो खतरा ही क्या जिसके बारे में पहले से जानकारी (भ्रम!) हो.

(समाप्त)

~Abhishek Ojha~

इन खतरों के बीच में गणित खो गया था. गणित की वापसी अगली पोस्ट से...

ब्लॉग्गिंग के खतरे: भाग ४

2009-06-04T04:30:00.000+05:30

पिछली पोस्ट से जारी...

एक गंभीर खतरा है नौकरी जाने का ! अब आप सरकारी नौकरी वाले हैं और वो भी ऐसी मलाई वाली जिसमें कुछ भी करो माफ़ है तब तो ठीक है. वर्ना जरा संभल के. नहीं तो पता चला मंदी से बच गए और ब्लॉग्गिंग ले डूबा ! वैसे ही ब्लॉग्गिंग, ट्विट्टर और फेसबुक ने बहुत लोगों की नौकरी ली है. आप असावधान हुए तो आपको भी ले डूबेंगे उनकी तो अब आदत हो चली है :)

संभवतः यह ब्लॉग्गिंग का सबसे बड़ा खतरा है. हाल ही में किसी ने फेसबुक स्टेटस लगाया कि वो नयी कंपनी ज्वाइन कर रहा है. उसी मेसेज के थ्रेड में किसी के सवाल के उत्तर में उसने लिखा कि ‘काम किसे करना है. हमें तो अनुभव है काम नहीं करने का :)’. बस… नयी कंपनी के किसी अधिकारी ने उसे पढ़ लिया और फिर न इधर के हुए न उधर के. ऐसे ही कोई बीमारी का बहाना बनाकर छुट्टी पर गया और फेसबुक ने नौकरी ले ली.

ये तो ठीक… कई बार जोश में आकर लोग टविट्टरिया/ब्लोगिया देते हैं: 'हमारे ऑफिस में फलां बात की मीटिंग चल रही है' और इसी सिलसिले में कोई गोपनीय बात निकल जाती है. और फिर नतीजा: गुलाबी रशीद थमा दी जाती है. हाल के दिनों में ऐसे खूब मामले हुए हैं. इनकी कोई गिनती तो नहीं है और बीच-बीच में ऐसी खबरें आती रहती हैं. वैसे ये खतरा नया भी नहीं है. किसी महाशय ने तो २००४ में ही ऐसे लोगों की सूची बनानी चालु की थी जो ब्लॉग्गिंग में नौकरी गवां चुके थे. एक हालिया नमूना :

तो अगर आप ऑफिस से ब्लॉग्गिंग करते हैं ऑफिस से जुडी बातों को ब्लॉग पर डालते हैं तो फिर तो... ! मजाक लग रहा हो तो तो लो पढो ये सारे लिंक. हाथ कंगन को आरसी क्या?

CNN Producer Says He Was Fired for Blogging

Beware if your blog is related to work

'Ill' worker fired over Facebook

बढ़ते हैं अगले खतरे की तरफ… किशोरों के लिए ब्लॉग्गिंग के संभावित खतरों में एक की तरफ इंगित करता न्यू हैम्पसायर विश्वविद्यालय के क्राइम्स अगेंस्ट चिल्ड्रेन रिसर्च सेण्टर का यह शोध पत्र है कि क्या ब्लॉग्गिंग किशोरों के ऑनलाइन यौन उत्पीडन का खतरा पैदा कर सकता है? इस शोध के पृष्ट २८९-२९१ पर नतीजो को आप पढ़ सकते हैं. इसे पढ़ कर तो यह जरूरी लगता है कि अवयस्क ब्लोगरों को उचित मार्गदर्शन मिले.

आज की पोस्ट में पढने को बहुत सारे लिंक है इसलिए यहीं विराम लगाते हैं. वैसे कहीं ये मेरी गलतफहमी तो नहीं कि आप लिंक्स पर जाकर पढेंगे ? :)

~Abhishek Ojha~

जारी रहेगा…

चित्र साभार: http://blog.adamnash.com/2009/03/22/ask-not-for-whom-the-bell-tweets/

शत प्रतिशत से अधिक संभावना और प्रॉबेबिलिटी

2009-05-28T10:55:00.001+05:30

पिछली पोस्ट पर कमेन्ट:

ज्ञानदत्त पाण्डेय | Gyandutt Pandey said... इस लेख से हण्डरेड परसेण्ट से ज्यादा सहमत हैं हम।
वैसे शत प्रतिशत से अधिक की संम्भावना प्रॉबेबिलिटी में कैसे व्यक्त होती है?!

पहले तो इस टिपण्णी को बस पढ़ लेता हूँ, पहली लाइन पढ़ कर प्रसन्न: बिलकुल सही कह रहे हैं आप... ऐसे ही डेढ़ सौ, दो सौ परसेंट की सहमती जताते रहिये. हमारी किस्मत ! या पोस्ट की सफलता या फिर दोनों का मेल... जो भी हो पर यकीनन रूप से सौ प्रतिशत से अधिक सहमति हो सकती है. अगर विचार मिले तो होने ही चाहिए. ऐसी टिपण्णी के लिए ज्ञान भैया को कोटिशः धन्यवाद ।

अब अगली लाइन: 'शत प्रतिशत से अधिक की संम्भावना प्रॉबेबिलिटी में कैसे व्यक्त होती है?!' अब प्रॉबेबिलिटी को याद करके इस सवाल का जवाब देने का मन नहीं हुआ. अब सीधी सी बात है... प्रसन्नता को कम करने वाले सिद्धांत की काहे व्याख्या की जाय ! अरे मैं तो कहता हूँ… गणित के ऐसे सिद्धांतों को दरकिनार किया जा सकता है जो मानवीय आनंद पर सवाल खड़े करें ! :)

खैर अब सवाल उठा है तो सोचना तो पड़ेगा ही... दरअसल बात ऐसी है कि १०० प्रतिशत से अधिक प्रॉबेबिलिटी जैसी कोई चीज ही नहीं होती.

प्रॉबेबिलिटी या प्रायिकता में पहली ही मान्यता होती है: असंभव के लिए ० और निश्चित के लिए १ प्रॉबेबिलिटी. अब ऋणात्मक या १ से ज्यादा प्रॉबेबिलिटी जैसी कोई चीज ही नहीं होती.

- ऋणात्मक प्रॉबेबिलिटी का मतलब हुआ असंभव से भी असंभव !

- १ से ज्यादा प्रॉबेबिलिटी का मतलब निश्चित से भी ज्यादा निश्चित !

गणित की नजर में ये दोनों ही विरोधाभास हैं.

जैसे आज बारिश होने की सम्भावना ० है मतलब आज बारिश होना असंभव है. अब कोई कहता है कि कल बारिश होने की सम्भावना ० से भी कम है. (बोलचाल की भाषा में हम कह सकते हैं इसका मतलब ये है कि कल बारिश होने की सम्भावना आज से कम है.) पर गणित ये नहीं मानता अगर कल बारिश होने की संभावना आज से कम है तो आज बारिश होने की सम्भावना ० हो ही नहीं सकती ! क्योंकि असंभव से कठिन भला क्या हो सकता है?! पूर्ण से अधिक पूर्ण भला क्या हो सकता है और शून्य से अधिक शून्य ! फिर विरोधाभास आ जाएगा. ठीक वैसे ही १०० प्रतिशत से अधिक या १ से अधिक प्रॉबेबिलिटी से भी विरोधाभास हो जाएगा. कहने का मतलब ये कि प्रॉबेबिलिटी हमेशा ० से १ के बीच में ही होगी. वैसे प्रॉबेबिलिटी में सबसे पहले घटना परिभाषित की जाती है जिसकी प्रॉबेबिलिटी निकालनी है. भौतिकी (या विज्ञान की अन्य शाखाओं में) में अगर किसी घटना की प्रॉबेबिलिटी १ से ज्यादा आ जाती है. तो इसका मतलब होता है कि सिद्धांत मान्य नहीं रह जाता. जैसे स्कैटरिंग (हिंदी में क्या कहेंगे?) में, अगर किसी बीम के १०० कणों के स्कैटर होने की प्रॉबेबिलिटी १ से ज्यादा आ जाती है तो इसका मतलब होता है: ये सिद्धांत ही गलत है. कुछ तो गड़बड़ है क्योंकि इसका मतलब ये हो जाता है कि बीम में जितने कण थे उससे ज्यादा स्कैटर हो जायेंगे ! इसे ऐकिकता के नियम का उल्लंघन कहा जाता है.

जो भी हो आप हमारे पोस्ट और विचार से हजारों-लाखो प्रतिशत सहमत हो सकते हैं. हर जगह सिद्धांत नहीं लगाए जाते. वैसे भी जहाँ दिल की बात हो दिमाग की क्या जरुरत ? :)

आइंस्टाइन बाबा भी कह गए: ‘How on earth are you ever going to explain in terms of chemistry and physics so important a biological phenomenon as first love?’ वो गणित कहना भूल गए लेकिन वैसे भी बिना गणित केमिस्ट्री भले दो कदम चल ले फिजिक्स तो हिल नहीं पायेगा. तो प्यार की ही तरह बाकी मानवीय भावनाओं के लिए भी विज्ञान के सिद्धांतो की जरुरत नहीं !

~Abhishek Ojha~

नोट: खतरों वाली श्रृंखला जारी रहेगी.

ब्लॉग्गिंग के खतरे: भाग ३

2009-05-11T04:30:00.000+05:30

पिछली पोस्ट से जारी...

अगला खतरा है आपकी व्यक्तिगत बातों का सार्वजनिक होना. आप कहेंगे वो कैसे? अरे मैं ऐसे लोगो को जानता हूँ जो अपनी डायरी किसी को नहीं दिखाते पर वही डायरी ब्लॉग पर पोस्ट कर देते हैं ! है तो बहुत ही अजीब… पर ऐसा होता है. मेरे एक मित्र हैं उनसे कहो ‘दिखाओ क्या लिख रहे हो?’ तो छुपा लेते हैं. मैंने कहा ‘आखिर डालोगे तो ब्लॉग पर ही’ तो कहने लगे ‘हाँ तब पढ़ लेना.’

उदहारण के रूप में एक सच्ची घटना बताता हूँ आपको. हमारी एक मित्र ने अपने बॉयफ्रेंड को ब्लॉग लिखने के लिए प्रेरित किया और अपने सारे दोस्तों को उसके ब्लॉग पर टिपियाने के लिए. बस फिर क्या था... हो गया बंटाधार. वो बेचारा पता नहीं अपना पहला-दूसरा प्यार लिखता रहा और... हाँ अगर आप अपने रिश्तों में पूरी तरह ईमानदार हैं तो ये नौबत तो नहीं आएगी पर ऐसी ही कोई और नौबत किसी और परिपेक्ष्य में आ सकती है. जैसे आप अपने किसी रिश्तेदार की दुविधा या फिर पारिवारिक बात लिख देते हैं तो कई तरह की गलतफहमी हो सकती है. तो बेहतर है सावधानी बरती जाय. ‘ज्यादा’ व्यक्तिगत बातें ब्लॉग से दूर ही रहे तो बेहतर है. वर्ना ये नशा है... 'दारु पिलाकर उगलवा लिया' की जगह कुछ दिनों में लोग शायद ये न कहने लगें 'ब्लॉग लिखवाकर उगलवा लिया'

मेरी नजर में एक महत्वपूर्ण खतरा है लीगल रिस्क या कानूनी खतरे. इसमें सबसे बड़ा मामला कॉपीराइट का हो सकता है. या फिर अगर आपने किसी सरखा हत्त के खिलाफ कुछ लिख दिया और आपको कोर्ट नोटिस आ जाए तो फिर तीसरा खम्बा के अलावा और कोई ब्लॉग साथ नहीं दे पायेगा :-) जाने कितने ही ब्लोगरों को कानूनी धमकियां मिल चुकी हैं और कईयों के खिलाफ कार्यवाही भी हो चुकी है. अगर भरोसा नहीं तो इस विषय पर एक बहुत अच्छा लेख आप यहाँ पढ़ सकते हैं. तो अपने अधिकार जानिए और बिंदास ब्लॉग्गिंग कीजिये लेकिन कौन सी वैधानिक सीमाएं है उसे जानना जरूरी है. इस बारे में कोई शंका हो तो तीसरा खम्बा पर सवाल भेजिए.

एक और छोटा खतरा है आपके स्वास्थ्य का. अगर अतिशय ब्लॉग्गिंग करने लगे तो फिर देर रात तक जागना, कम नींद और बेचैनी घेर सकती है. सोने और टहलने की बजाय अगर आप कंप्यूटर के सामने बैठे हैं और रिफ्रेश करके टिपण्णी का इंतज़ार… तो समझ लीजिये ये खतरा आप पर मडरा रहा है. मेरी बात पर भरोसा नहीं तो आप किसी पीठ और गर्दन की दर्द वाले डॉक्टर से जाकर पूछ लीजिये की कितने प्रतिशत लोग कंप्यूटर पर काम करने की वजह से परेशान हैं?

छोटे रिस्क में एक और है... असामाजिकता. आप कहेंगे ब्लॉग्गिंग से सोशल नेट्वर्किंग होती है. हाँ वो तो सही है... पर ऐसा भी होता है: दिल्ली, कलकत्ता और लन्दन, न्युयोर्क में बैठे लोगों को पता होता है कि आज मुंबई की ब्लोगर मैडम एक्स के घर क्या बना है. लेकिन पड़ोसियों को नहीं पता होता ! और तो और कई बार पड़ोस में कौन रहता है ये भी नहीं पता होता. अभिषेक ओझा १७ दिन की छुट्टी गए ये मालूम है लेकिन पड़ोस के रमेशजी बीमार हैं उसकी खबर नहीं. ऑफिस का बाबु २० दिन से नहीं आया उसकी फिकर नहीं है ! तो अगर आप इतने ज्यादा सोशल नेट्वर्किंग कर रहे हैं तो छोटी-छोटी बातों को मत भूलिए... छोटी-छोटी बातों में भी जिंदगी का मजा है.

अगली पोस्ट में जारी...

~Abhishek Ojha~

ब्लॉग्गिंग के खतरे: भाग २

2009-05-04T09:00:00.000+05:30

(ये एक आम ब्लॉगर का नजरिया है, हो सकता है ये सब पर लागू न हो. ब्लॉग्गिंग के जो भी खतरे मैं लिस्ट कर रहा हूँ वो आम ब्लॉगर की हैसियत से ‘विद्वानों’ का मत इससे भिन्न हो सकता है. मेरे व्यक्तिगत विचारों से किसी का भी सहमत-असहमत होना लाजिमी है.)

शुरुआत छोटे खतरों से. ये इतनी आम बात है कि हम इसे खतरा मानते ही नहीं. फिर भी आप अगर एक आम इंसान हैं तो आपको इससे समस्या हो सकती है. ये है अनचाहे विवाद !

विवाद से मेरा मतलब तार्किक संवाद या बहस नहीं है वो तो ब्लोगिंग का फायदा होगा. लेकिन यहाँ बात है वैसे विवाद की जिसमें लोग पढ़ते कुछ हैं (कई बार पढ़ते भी नहीं हैं !) सोचते कुछ हैं और फिर टिपण्णी कुछ और ही कर जाते हैं. कई बार इन विवादों का असली पोस्ट से कोई लेना देना नहीं होता है. ये खतरा ब्लॉग्गिंग के साथ-साथ टिपण्णी करने में भी है. कई बार सकारात्मक बहस के लिए की गयी टिपण्णी भी विवाद का रूप ले लेती है. समस्या ये है की ब्लॉगर एक बार जो पोस्ट कर देते है, अपनी कही गयी बातों से पीछे हटने को तैयार नहीं होते. चाहे वो सही हो या गलत. वैसे अगर अपनी गलती लोग मानने लगे तो ब्लॉग क्या वास्तविक जिंदगी के भी कई सारे विवाद ऐसे ही निपट जायेंगे ! व्यक्तिगत रूप से मैं कई ऐसे ब्लॉग पर टिपण्णी नहीं करता जो एकतरफा लिखते हैं. उनकी बातें गलत नहीं होती पर वो अक्सर सिक्के का एक ही पहलु उजागर करती हैं. ऐसे कई पत्रकारों के ब्लॉग हैं जिन्हें पढ़कर हंसी आती है. टिपण्णी ना करना विवादों से बचने का एक तरीका हो सकता है. पर जरूरी नहीं की आप विवाद से बच जाएँ. वैसे भी खतरों को कम किया जा सकता है ख़त्म नहीं ! आप कितने भी सावधान रहे अगर हिंदी ब्लॉगर हैं तो आपको कभी भी विवादों में घसीटा जा सकता है.

अगले खतरे की तरफ बढ़ते हैं: पूरी तरह सार्वजनिक ! जी हाँ ब्लॉग में गोपनीयता जैसी कोई चीज नहीं होती. अगर आपको लगता है कि आप अपनी पोस्ट या ब्लॉग डिलीट करके कुछ छुपा सकते हैं तो आप गलत हैं. धनुष से निकला बाण वापस तो नहीं आ सकता लेकिन हो सकता है लक्ष्य ना भेद पाए और बेकार चला जाय, मुंह से निकली वाणी भी वापस तो नहीं ली जा सकती लेकिन तुरत या बाद में भी आप अपनी बात से पलटी मार सकते हैं. लेकिन ब्लॉग पर किया गया पोस्ट वापस नहीं लिया जा सकता. वो शाश्वत है ! अमर है ! गूगल कैशे में ये हमेशा हमेशा के लिए सुरक्षित हो जाता है. इसके अलावा भी कुछ साइट्स हैं जहाँ आपका ब्लॉग किसी पुरानी तिथि पर कैसा था यह देखा जा सकता है. वो सब तो दूर की बात गूगल रीडर के पाठकों तक तो आसानी से चला ही जाता है! अगर आपको लगता है कि आपका ब्लॉग बहुत कम लोग पढ़ते हैं तो ये आपकी गलतफहमी है. और आपके पाठको की संख्या आपके अनुमान से कहीं ज्यादा है. तो ब्लॉग पर पब्लिश बटन दबाने से पहले सोचना बहुत जरूरी है ! क्योंकि एक बार कुछ गलती से भी गलत पोस्ट हुआ तो... बैंग ! आप तो गए काम से.

आज की पोस्ट का आखिरी खतरा: आपके द्बारा दी हुई जानकारी का दुरूपयोग ! अगर किसी लड़की ब्लॉगर ने प्रोफाइल में अपनी फोटो/ईमेल/फ़ोन नंबर डाल दिया तो फिर क्या होगा ये बताने की जरुरत है क्या? इसके अलावा आपने कभी सोचा है कि कहीं कोई ट्रैफिक पुलिस के हाथ पकडा गया और कहे कि मैं 'श्री/श्रीमती अ' पुलिस अफसर को जानता हूँ. कोई बिना टिकट ट्रेन में सफ़र करे और कहे कि मैं 'श्री/श्रीमती ग' रेलवे अफसर को जानता हूँ. कोई अपने पडोसी को ये कह कर धमकी दे कि मैं 'श्री/श्रीमती द' वकील को जानता हूँ और देख लूँगा तुम्हे !. और वास्तविक जीवन में वो सिर्फ 'अ' 'ग' और 'द' के ब्लॉग पढता है. २-४ ईमेल इधर-उधर हुए हों ये भी संभव है ! उस व्यक्ति का काम तो संभव है हो जाएगा. हो या ना हो दोनों स्थितियों में आपकी छवि तो धुंधली होगी ही. तो प्रोफाइल में कितनी और क्या जानकारी देनी है इसका ध्यान रखना भी जरूरी है. इस हिसाब से तो अनोनिमस ब्लॉग्गिंग ही बेहतर है !

अगली पोस्ट से इन बचकाने खतरों से थोडा आगे बढ़ेंगे और थोड़े बड़े खतरों से मिलेंगे !

~Abhishek Ojha~

ब्लॉग्गिंग के खतरे !

2009-04-30T04:30:00.000+05:30

हमारे धंधे में रिस्क या जोखिम उन चीजों में निकाला जाता है जहाँ लाभ और घाटा दोनों होता है. और दोनों में से कब कौन, कैसे और कितना हो जाएगा ये पता नहीं होता है. बिल्कुल जुए जैसी बात, और वो भी अपनी औकात से कई गुना कर्ज लेने की क्षमता के साथ जुआ खेलने वाली बात. अब युद्धिष्ठिर कर्ज ले लेकर जुआ खेल सकते तो क्या होता? कर्ज नहीं ले सकते थे तब तो क्या हाल हुआ ! खैर हमारे धंधे में लोग कहते हैं कि हम वही बता देंगे जो बताना संभव ही नहीं है. अरे क्या ख़ाक बताएँगे जब कृष्ण जैसे खतरा मैनेजर युद्धिष्ठिर को नहीं रोक पाए तो कोई और क्या खतरे बता पायेगा ! तो अगर मैं कहूं की ब्लॉग्गिंग में बस ये ही खतरे हैं और इसके अलावा कुछ नहीं हो सकता तो ये एक शुद्ध झूठ के अलावा और कुछ नहीं होगा. *

विश्वयुद्ध हो या ९/११ या नागासाकी/हिरोशिमा... किसीने पहले नहीं सोचा था कि ऐसा भी हो सकता है ! खतरे जब एक बार आ जाते हैं तब हम उनके बारे में सोचना चालु करते हैं. तब हम इस बात का ध्यान रखने लगते हैं कि कोई हवाई जहाज किसी बिल्डिंग में ना घुसे पर अब क्यों कोई जहाज बिल्डिंग में घुसने लगा... अब तो कुछ और होगा ! कुछ भी... जो हम नहीं जानते ! अगर जान ही लेंगे तो फिर वो खतरा कहाँ रह पायेगा.

अब स्वाइन फ्लू ही देख लो, कभी किसी ने सोचा था क्या? सूअर तो ससुरे तब भी साँस लेते थे ! डॉट कॉम बबल में स्टॉक मार्केट डूब गए तो लोग देखने लगे की अगर फिर से डॉट कॉम बबल हुआ तो क्या होगा. अरे अब फिर से क्यों होगा वही? अब एक बार हाथ जल गया तो कोई वैसे ही आग में हाथ नहीं डालेगा. हाँ अब इंसान आग से तो सावधान हो जाता है पर पानी में डूब कर मर जाता है... बच जाता है तो अगली बार आग और पानी से बचता रहता है, फिर किसी और चीज से खतरा होता है ! उसी तरह पहले हो चुकी घटनाओं के चक्कर में लोग पड़े रहे और कर्ज लेकर जुआ खेलते रहे. और बन गया हाऊसिंग बबल और आ गया रिसेसन. अब आगे से इसका भी ध्यान रखा जाएगा और फिर कोंई नया बबल आएगा.

तो कुल मिला के मेरा कहना ये है कि मैं जो खतरे गिना रहा हूँ ये सब वैसे है जो हम देख सकते हैं ! पर असली खतरे तो वो होते हैं जो हम सोच भी नहीं सकते. और ऐसे ही खतरे ज्यादा खतरनाक होते हैं क्योंकि उनके लिए हम बिल्कुल तैयार नहीं होते. खैर जिस धंधे का खाना होता है उसको ज्यादा गाली नहीं देना चाहिए :-) और वैसे भी यहाँ बात ब्लॉग्गिंग की होनी थी तो मुड़ते हैं ब्लॉग्गिंग कि तरफ.

ब्लॉग्गिंग का तो माजरा ही कुछ और है. यहाँ तो फायदा क्या है यही नहीं मालूम (हिंदी में ऐडसेंस से कमी करने वाले और प्रोफेसनल ब्लोग्गर नहीं के बराबर है !). वैसे ब्लॉग्गिंग कोई क्यों करता है इसे एक बार मैंने मासलो की जरूरतों के अनुक्रम (Maslow's hierarchy of needs) से जोड़ा तो था (वो भी कभी पोस्ट होगा).

बिन फायदे वाली चीज का खतरा निकलना हो तो मूल सिद्धांत (अगर फायदे बंद हो जाएँ तो क्या हो !) ही लागू नहीं होता. फिर भी बड़े खतरे हैं जी इस ब्लॉग्गिंग के. आज भूमिका ही लम्बी हो गयी.

दो-चार दिन में खतरे लेकर मैं आता हूँ :-)

~Abhishek Ojha~

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*ये ब्लॉग्गिंग में रिस्क वाली श्रृंखला का पूरा श्रेय जाता है माननीय रवि रतलामीजी को और उनकी इस टिपण्णी को (वैसे आपको पसंद ना आये और गलतियाँ-वलतियाँ हो तो उसका सारा श्रेय मेरा)

उन्होंने कहा था: ‘ध्यान रखिएगा, कोई रिस्क छूटने न पाए.’ तो सरजी आज की पोस्ट से ये बात तो साफ़ हो ही गयी होगी कि कितने रिस्क कोई गिना सकता है और कितने छुट जायेंगे :-)

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ओसामा बिन लादेन: मैं देखउँ तुम्ह नाहीं !

2009-02-19T04:32:00.003+05:30

कल ये ख़बर पढ़ी तो तुलसी बाबा की ये चौपाई दिमाग में आई:

मैं देखउँ तुम्ह नाहीं गीधहि दृष्टि अपार । बूढ़ भयउँ न त करतेउँ कछुक सहाय तुम्हार ॥

सीआईए और ऍफ़बीआई ओसामा बिन लादेन को ढूंढ़ के थक गई, और इन भूगोल के प्रोफेसरों ने झट से बता दिया की ओसामा कहाँ है ! वैसे ये चौपाई तो बिल्कुल सटीक बैठती है इस मामले पर. प्रोफेसरों ने कह दिया: 'भाई आप तो नहीं देख सकते पर हमारे शोध की दृष्टि अपार है, हमने तो बता दिया ओसामा कहाँ है. हम तो प्रोफेसर बन गए नहीं तो आपकी कुछ और मदद करते'. अब रामायण में संपाति भी कोई ऐसे भौगोलिक गणितीय मॉडल लगाए होंगे तो अपने को नहीं पता. ये बात क्लियर करना तुलसी बाबा भूल गए और सीधे लिख गए 'गीधहि दृष्टि अपार' अब गीध->गिद्ध .... ->शोध तक जा पाता है या नहीं ये तो अजितजी ही बता सकते हैं. खैर जहाँ तक सीआईए के थकने की बात है तो जब तक सीआईए थक नहीं जाती तब तक ये प्रोफेसर बताने वाले भी नहीं थे. आख़िर प्रोफेसर हैं भाई... प्रोफ़ेसर तो काम ही तब करते हैं जब सब कुछ ख़त्म हो जाता है !

अब वित्त में ही देख लीजिये मंदी आ जाने तक अर्थशास्त्री कुछ नहीं कहते. वास्तव में तो अक्सर नोबेल पुरस्कार विजेता अर्थशास्त्रियों के शोध का पालन करने पर ही तो घोर मंदी आती है. लेकिन मजे की बात ये है कि एक बार घोर मंदी आ जाय तो बस यह बात साबित करने के लिए ही कि मंदी आ गयी है ये सैकड़ों शोध छाप डालते हैं. और उसके बाद तो मंदी के हजारों कारण और उपाय पर छपने वाले सहस्त्रों शोधों में से ही किसी न किसी को नोबेल मिलना तय हो जाता है. मुझे तो आश्चर्य हुआ कि ओसामा को पकड़े जाने के पहले ही ऐसा शोध आ कैसे गया ! अब समय से पहले आ गया है तो काम का शायद ही होगा :-)*

लॉस अन्जेलिस स्थित कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय के प्रोफेसर गिलेस्पी साहब की टीम ने जीव-जंतुओं के एक से दुसरे जगह जाने की प्रक्रिया के हिसाब से गणितीय मॉडल बनाए और फिर ओसामा बिन लादेन की मूलभूत जरूरतों और उसकी पिछली रहने की ज्ञात जगह को आधार बनाकर ये निष्कर्ष निकाला की ओसामा अभी कहाँ हो सकता है. भविष्य में मॉडल को खुफिया एजेंसियों से प्राप्त सूचना के आधार पर परिष्कृत भी किया जा सकेगा. इस शोध से पता लगा कि पाकिस्तान के पाराचिनार में ओसामा के होने की सम्भावना बनती है. और जब ओसामा के कद की लम्बाई, उसके रहने के आस-पास छुपने की जगह होनी चाहिए, कुछ सुविधायें जैसे बिजली और एक से ज्यादा घर भी होने चाहिए जैसे कारकों को ध्यान में रखा गया तो अंततः उपग्रह से प्राप्त चित्र में तीन घर ऐसे दिखे जिनमें ओसामा के होने की संभावना ज्यादा लगती है.

इस पुरे शोध में इस्तेमाल हुए कुछ सिद्धांत इस प्रकार हैं:

- दुरी क्षय सिद्धांत (Distance Decay Theory) के अनुसार अगर किस जीव के रहने की एक ज्ञात जगह से चला जाय तो उस जीव के पाये जाने की सम्भावना (प्रायिकता) दूरी के साथ कम होती जाती है और उस प्रजाति के जीवो की संख्या चरघातांकीय (Exponential) गति से कम होती जाती है.

- द्वीप जैविकभूगोल (Theory of Island Biogeography) का सिद्धांत कहता है: छोटे और पृथक द्वीपों की तुलना में बड़े और पास के द्वीपों में प्रवास की दर और जीवों का पोषण निम्न विलोपन दर (lower extinction rate) के साथ होता है.

- इनके अलावा ओसामा के जीवन से सम्बंधित कई बातें भी इस्तेमाल की गई जैसे उसकी लम्बाई, वह एकांत पसंद करता है, उसे डायलिसिस के लिए बिजली की जरुरत होती है इत्यादि.

शोध के अनुसार ओसामा जहाँ पहले देखा गया था उससे मिलती-जुलती (प्राकृतिक और सांस्कृतिक, धार्मिक, राजनितिक) जगह पर ही होगा. क्योंकि अगर वह ‘ज्यादा सेकुलर पाकिस्तानी हिस्से’ की तरफ़ या भारत की तरफ़ बढ़ता है तो उत्तरोतर सांस्कृतिक परिवर्तन होते रहने के कारण उसके पकड़ लिए जाने या मार दिए जाने की संभावना बढ़ जाती है. इसी प्रकार लादेन के किसी बड़े कस्बे में होने की सम्भावना ज्यादा है जहाँ मानव जाति का विलोपन दर कम हो ! और इन सबके साथ उसकी मूलभूत सरंचना और जरूरतों को मिला दिया जाय तो उसके रहने का ठिकाना ढूँढना आसन हो जाता है.

एम्आईटी इंटरनेशनल रिव्यू में छपे पुरे शोध के लिए यहाँ जाएँ. इसी शोधपत्र से ली गई कुछ तस्वीरें:

और ये हैं वो तीन जगहें जहाँ ओसामा के होने की सम्भावना है: उनकी भौगोलिक स्थिति क्रमशः N 33.901944° E 70.093746°, N 33.911694° E 70.0959° और N 33.888207° E 70.113308° है. तो फिर हमने बता दिया आप निकल लीजिये. अभी भी मौका है और ५ करोड़ डॉलर का इनाम है, बाद में मत कहियेगा कि मैंने बताया ही नहीं :-)

--- कई बार ओसामा टाइप करते हुए ओबामा टाइप हो गया. एक 'एस' की जगह 'बी' हो जाने से कई बार बिलांडर होते-होते रह गया ! मुझे नींद आ रही है मैं चला सोने… आप कीजिये पैकिंग. और अगर आपको ५ करोड़ डॉलर मिल गए तो मेरे हिस्से का देने मत भूलियेगा !---

~Abhishek Ojha~

*[मैं प्रोफेसर समाज का मजाक नहीं उड़ा रहा. पीएचडी करने का तो अपना मन कुलबुलाता रहता है पर आजकल ऐसे कई कारण इस विचार से दूर कर रहे हैं. खैर वित्त में तो ऐसा ही होता है... हर बड़े मार्केट क्रैश के बाद सबसे ज्यादा शोध होता है].

महीनों बाद अपडेट: अंतत ओसामा इसी परिधि में मिला. और जो महीनों पहले मैंने टाइप करने की बात की वो गलती फोक्स न्यूज़ के साथ-साथ कई औरों ने भी किया :)

कौन सा पेशा सबसे अच्छा ?

2009-01-08T04:44:00.000+05:30

पेशे तो सभी अच्छे होते हैं, उसमें क्या अच्छा क्या बुरा !
लेकिन एक बात तो है कुछ दिनों के बाद सबको अपना छोड़ दुसरे का ही पेशा अच्छा लगने लगता है। खैर वो तो अपनी-अपनी सोच है... ।

अमेरिका में तो हर बात का सर्वे होता है और हर चीज की रैंकिंग। वैसे एक्चुएरी का प्रोफेशन तो हमेशा से ही सबसे ज्यादा वेतन वाले पेशे में ऊपर रहता आया है। लेकिन ये रैंकिंग केवल वेतन की नहीं है ये सबसे अच्छे (और बुरे) पेशे की है। इस सर्वे में वेतन के अलावा काम का दबाव, परिवेश तथा रोजगार से जुड़े अन्य पहलुओं को ध्यान में रखा गया।

तो सबसे अच्छा कौन?
अरे साफ़ बात है इस ब्लॉग पर है तो क्या होगा? गणित !
आप कहेंगे 'व्हाट? ये भी कोई पेशा है?
अब पेशा नहीं है तो मैं इतना क्यों लट्टू हूँ भाई इस पर, बिना पैसे के भला आजकल कुछ होता है आजकल ! खैर गणित तो सर्वव्यापक है, पेशा तो बस उसकी माया का एक रूप है :-)

ये ख़बर पढ़ी तो सोचा कि आप को भी बता दूँ... (इसी बहाने ठूंठ हो रहे इस ब्लॉग के लिए एक पोस्ट भी मिल गई) अब तो गणित को गंभीरता से लीजिये भाई। सबसे अच्छे पेशों की सूची में शुरू के तीन स्थानों पर तो गणित ही है।

यहाँ दुसरे नंबर पर जो 'एक्चुएरी' है वो क्या होता है?... ये वो गणितज्ञ लोग होते हैं जो मूलतः बीमा और वित्त से जुड़ी कंपनियों के लिए काम करते हैं। पॉलिसी बनाना, प्रीमियम तय करना, रिस्क निकलना... और हाँ ये गणित की ही एक शाखा होती है... एक्चुएरी प्रोफेशन के लिए होने वाली परीक्षाओं/पाठ्यक्रमों में ९०% से ज्यादा गणित ही होता है, सांख्यिकी और नंबरों का खेल होता है बस। अगर आपको एक्चुएरी के गणितज्ञ होने पर शक है तो ये लीजिये एक अधिकारिक परिभाषा: "Mathematician who compiles and uses statistics mainly for insurance and finance purposes."

एक्चुएरी और सांख्यिकी पर कभी भविष्य में पोस्ट आएगी। अभी इस सर्वे का डिटेल आप वाल स्ट्रीट जर्नल पर जाकर देख सकते हैं या फिर सर्वे कराने वाली कंपनी पर ही.

~Abhishek Ojha~

साभार: वाल स्ट्रीट जर्नल.

अब तक का सबसे बड़ा 'पोंजी स्कीम'

2008-12-14T04:29:00.000+05:30

वालस्ट्रीट में फ्रौड़ का इतिहास बड़ा लंबा रहा है. इतनी सारी विफलताएं है कि गिनना मुश्किल है.

हर मामले में कहानी एक जैसी ही होती है... एक घाटे को बचाने के लिए, उसे छिपाने के लिए नए निवेश करते जाओ और तब तक करते जाओ जब तक पानी सर के ऊपर ना निकल जाए. छोटे-मोटे स्कैंडल तो इस धंधे का हिस्सा लगने लगे हैं. पर जब 'अब तक का सबसे बड़ा' टैग लग जाता है तो सच में कुछ बड़ा होता है. और अगर वालस्ट्रीट का अब तक का सबसे बड़ा कुछ है मतलब सच में कुछ बड़ा तो होगा ही !

११ दिसम्बर को नैस्डैक के पूर्व चेयरमैन मैडोफ़ को ५० अरब डॉलर के फ्रौड़ के आरोप में गिरफ्तार किया गया। वालस्ट्रीट की जानी-मानी हस्तियों में से एक मैडोफ़ पर लगा ये आरोप एक अकेले व्यक्ति पर लगा सबसे बड़ा फ्रौड़ का आरोप है। उन्होंने ख़ुद ऍफ़बीआई के सामने ये स्वीकार किया की बर्नार्ड एल मैडोफ़ सेक्युरिटीस् का निवेश एक बड़ा पोंजी स्कीम था ! ये लाईने आप सीधे अंग्रेजी में ही पढिये:

On Dec. 10, 2008, Madoff informed the Senior Employees, in substance, that his investment advisory business was a fraud. Madoff stated that he was "finished," that he had "absolutely nothing," that "it's all just one big lie," and that it was "basically, a giant Ponzi scheme. Madoff stated that the business was insolvent, and that it had been for years. Madoff also stated that he estimated the losses from this fraud to be at least approximately $50 billion.

बर्नार्ड एल मैडोफ़ सेक्युरिटीस् की वेबसाइट पर:

'The Owner's Name is on the Door'

In an era of faceless organizations owned by other equally faceless organizations, Bernard L. Madoff Investment Securities LLC harks back to an earlier era in the financial world: The owner's name is on the door. Clients know that Bernard Madoff has a personal interest in maintaining the unblemished record of value, fair-dealing, and high ethical standards that has always been the firm's hallmark.

Bernard L. Madoff founded the investment firm that bears his name in 1960, soon after leaving law school. His brother, Peter B. Madoff, graduated from law school and joined the firm in 1970. While building the firm into a significant force in the securities industry, they have both been deeply involved in leading the dramatic transformation that has been underway in US securities trading.

और ११ दिसम्बर तक तो सब यही मानते थे... अक्सर यही होता है. वालस्ट्रीट में जो सबसे बड़ा स्टार होता है वही गड़बड़ करता है ! पुरा आप यहाँ जाकर पढ़ सकते हैं.

फिलहाल खबरें आ ही रही हैं... बड़े-बड़े अरबपति और कुछ बड़े बैंक के पैसे (सॉरी डॉलर) साफ़ हो गए. प्रभावित लोगों और संस्थाओं की एक सूची विकिपीडिया पर है... जिसमें अभी और भी नाम आएंगे ! मैडोफ़ को फिलहाल १ करोड़ डॉलर की जमानत पर रिहा कर दिया गया है. मामला चलेगा, जेल भी होगा... वो सब तो ठीक पर ये 'पोंजी स्कीम' क्या है?

पोंजी ऐसे फ्रौड़ निवेश स्कीम को कहते हैं जो बहुत ज्यादा लाभ देता है. पर निवेशकों का लाभ किसी सफल बिजनेस या उत्कृष्ट निवेश से ना होकर दुसरें निवेशकों के पैसे से आता है ! १९२० में चार्ल्स पोंजी के नाम पर इसे पोंजी स्कीम कहा गया. वैसे पोंजी ख़ुद स्कीम के आविष्कारक नहीं थे लेकिन उन्होंने बड़े स्केल पे किया तो उनके नाम पर ही चल निकला. ये घटना सीधे पोंजी स्कीम तो नहीं है पर उसी का एक रूप है. 'जब घाटा होने लगे तो भी झूठ बोलकर निवेशकों से पैसे लेते रहना और ये सोचना की कल को पैसे बन जायेंगे !' यही मुख्य कारण होता है अधिकतर पोंजी स्कीम्स में.

वाल स्ट्रीट जर्नल ने इस पूरे घटना क्रम की कवरेज की है. और अब तक के बड़े पोंजी घटनाओं पर एक ग्राफिक्स भी यहाँ है.

और हाँ ऍफ़बीआई का ओरिजनल कम्प्लेन डोक्युमेंट देखना हो तो यहाँ देख लीजिये.

कम से कम ऐसे निवेश से सावधान रहिएगा. कई करोड़पति-अरबपति पूंजी से पोंजीपति हो गए इस घटना में !

--
मुझे तो इसी बात की खुशी है की जो परीक्षा आजकल दे रहा हूँ उसका चौथा पेपर कम्प्लीट कर लिया. उसमें ऐसे ही फ्रौड़ और कंपनियों की विफलताएं पढ़नी होती है... रोचक तो बहुत होती है लेकिन इस साल इतनी ज्यादा केस-स्टडीज हो गई की इन सब को जोड़ दिया जाय तो पढ़ते-पढ़ते... !

अगर वित्त अर्थ से जुड़ी खबरें आप पढ़ते हैं तो मैं रीडर में बहुत कुछ शेयर करता हूँ. आप यहाँ देख सकते हैं.

गणित के साथ ऐसी कहानियो को भी ठेलने का मन था (है) लेकिन आजकल तो गणित भी बंद है !

~Abhishek Ojha~

ईटो कियोशी

2008-11-28T18:30:00.005+05:30

पॉल क्रुगमन के ब्लॉग से पता चला की ईटो कियोशी नही रहे। प्रायिकता सिद्धांत (Probability Theory) और आकस्मिकता (Randomness) पर उनका काम जो ईटो कलन (Ito Calculus) के नाम से जाना जाता है. गणितीय वित्त में बहुत ज्यादा इस्तेमाल होता है। याद है जब पहली बार ईटो लेमा (Ito's Lemma) वित्तीय गणित की कक्षा में सुना था... उसके बाद अगली तीन कक्षाओं तक कुछ हवा नहीं लगी थी। ये कोर्स १० वें सेमेस्टर में किया था मतलब ४ साल तक गणित पढने के बाद भी पहली बार में ये सिद्धांत और इसका इस्तेमाल समझ नहीं आया था। फिर ऐसे नाम इतनी जल्दी कोई कैसे भूल सकता है. अब जब कभी साक्षात्कार लेता हूँ और अगर किसी ने वित्तीय गणित के बारे में पढ़ा हो तो उससे एक बार ईटो लेमा और फेनिमन कक (Feynman Kac) में से एक तो पूछ ही लेता हूँ।

१९१५ में जन्में इस जापानी गणितज्ञ ने पिछले दोनों १० नवम्बर को आखिरी साँस ली। २००६ में पहले गॉस पुरस्कार से सम्मानित इस गणितज्ञ द्बारा विकसित सिद्धांत वित्त के अलावा जीव विज्ञान (Biology) और भौतिकशास्त्र (Physics) में भी उपयोगी साबित हुए हैं। पिछले महीने ही उन्हें जापानी आर्डर ऑफ़ कल्चर पुरस्कार से नवाजा गया था। वित्त और खासकर डेरिवेटिव ट्रेडिंग में उनके सिद्धांतों के उपयोग के चलते उन्हें 'Most Famous Japanese in WallStreet' की उपाधि से भी जाना जाता है। स्टोकास्टिक डिफ़ेरेन्शियल समीकरणों (Stochastic Differential Equations) पर उनके काम ब्लैक-शोल्स मॉडल (Black Scholes Model) तक पहुचने में मदद करते हैं। अब जो वित्तीय अभियांत्रिकी (Financial Engineering) का नाम भी सुनते हैं वो ब्लैक-शोल्स तो जानते ही हैं।

एमआईटी के प्रोफेसर डैनियल स्ट्रूक ने कहा: 'सबको पता है की ईटो के काम से कई बातो की जानकारी हुई जो पहले अनजान थी।'

श्रद्धांजली इस महान गणितज्ञ को !

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पाल क्रुगमैन के ब्लॉग पर पढने के बाद सोचा की इस पर कुछ लिखा जाय। कल से पढ़ाई के लिए छुट्टी पर हूँ (हमारी कम्पनी पढने के लिए भी छुट्टी देती है)... और परसों रात से ही टाईम्स नाऊ देख रहा हूँ... मैं तो फिर भी २ घंटे बिजली गई तो ४ घंटे सो गया लेकिन कमांडो बिना सोये लगे हुए हैं... और टाईम्स नाऊ पर अर्नब ! बिना एडवटिज्मेन्ट, कमाल की कवरेज ! टीवी पर न्यूज़ नहीं देखता पर इस बार टीवी बंद करने की इच्छा नहीं हो रही है... दिमाग शून्य हो गया है ! इससे ज्यादा लिखने की क्षमता नहीं.

नरीमन भवन में शायद कार्यवाही ख़त्म हो गई है...

~Abhishek Ojha~

गणित से भय: यूरोप की देन ?

2008-11-20T04:48:00.001+05:30

गणित और भय में चोली-दामन का रिश्ता है और हाल ही में मुझे रंजनाजी के सौजन्य से पता चला की ये यूरोपीय विचारधारा की देन है. रंजनाजी ने कुछ दस दिनों पहले मुझे ये अखबार का टुकडा स्कैन कर के भेजा. अब उन्हें लगा की मुझे इस पर कुछ लिखना चाहिए... अब मेरे दिमाग में तो यही आया 'अब आगे से किसी को गणित से डरने के जरुरत नहीं... ये गणित से डरना फिरंगियों की सोच से प्रभावित है.' लेकिन इससे कोई फायदा है क्या, किसी की भी विचारधारा हो ? जैसे बच्चे को कितना भी समझा लो कि बेटा भूत-वूत कुछ नहीं होता, सब वहम है... पर वो तो डरेगा ही ! वैसे ही क्या फर्क पड़ता है कि किसने डराने वाला गणित बनाया... अब ये वहम मिटाना आसन नहीं.

खैर बात इस ख़बर की... मुझे पढने के बाद यही लगा कि ये प्रो राजू की पुस्तक 'कल्चरल फाउण्डेशनस ऑफ़ मैथेमेटिक्स' में कही गई बात है. इसका स्रोत ढूंढने की थोडी कोशिश भी की... गणित भले ही यूरोपीय सोच की देन हो ना हो... ये ख़बर इन बातों पर आधारित है: प्रो राजू की पुस्तक में यह कहा गया है की कलन (Calculus) जिसके लिए कहा जाता है कि न्यूटन (Newton) और लिबनिज (leibnitz) दोनों ने स्वतंत्र रूप से विकसित किया, दरअसल भारत की देन है. कलन के कई प्रमुख सिद्धांत आर्यभट, भास्कर, नीलकंठ, शंकर वारियार जैसे गणितज्ञों के कई खगोलीय और गणितीय कामों में पाये जाते हैं जिसे मैटियो रिक्की नामक जेसुइट द्वारा कोचीन से यूरोप ले जाया गया. अन्यत्र प्रो राजू कहते हैं की प्राचीन भारतीय और यूरोपीय गणितीय सोच में बहुत अन्तर है. भारतीय गणित जहाँ व्यवहारिक था वहीँ यूरोप ने इसे धर्म से जोड़ दिया. भारतीय 'प्रमाण' में जहाँ 'लगभग' की मान्यता थी वहीँ यूरोप के 'प्रूफ़' में इसे परफेक्ट बना दिया गया. प्लेटो ने जोड़-घटाव (व्यवहारिक गणित/Applied Mathematics) वाले गणित को प्रूफ़ (प्रूफ़ पर आधारित शुद्ध गणित/Proof based Pure Mathematics) वाले गणित से नीचे माना और यह मान्यता आज तक शिक्षाविदों में चली आ रही है कि शुद्ध गणित व्यवहारिक गणित से ज्यादा श्रेष्ठ है. जबकि भारत में कभी भी ऐसा विवाद नहीं रहा... प्राचीन भारतीय गणित केवल पढने के लिए कभी नहीं था बल्कि हमेशा ही वो किसी व्यवहारिक उपयोग को लेकर रहा है. जबकि शुद्ध गणित जो यूरोपीय सोच का नतीजा था वो केवल पढने के लिए रहा… अर्थात वास्तविकता से दूर.

गणित के इस रूप के भारत से यूरोप जाने और विकृत होने के बारे में प्रो राजू कहते हैं की यूरोप में नौसंचालन के लिए की जाने वाली शुरूआती गणनाओं में कई गलतियाँ थी. जिससे समस्याएं भी होती थी और नौसंचालन में सुविधा के लिए किए जाने वाले आविष्कारों के लिए कई यूरोपीय राज्यों ने आकर्षक पुरस्कारों की घोषणा कर रखी थी. इनके सुधार के लिए भारतीय गणित और पंचांगों को जेसुइट केरल से यूरोप ले गए. केरल उस समय शिक्षा और गणित का केन्द्र हुआ करता था क्योंकि विजयनगर राज्य की प्रभुता के कारण यह उत्तरी हमलों से एकदम सुरक्षित था. जेसुइट समुदाय के लोगों का स्थानीय लोगों से घुल-मिल कर रहना था और उन्हें भाषा की दिक्कत भी नहीं होती थी. इस तरह कई त्रिकोणमितीय अनुपातों को निकालने की विधि सहित पंचांगों और अन्य खगोलीय तथा गणितीय अध्ययनों में उपयुक्त सिद्धांत यूरोप पहुच गए. वहाँ आध्यात्म विद्या (Theology) से जुड़ जाने के कारण इसमें अमूर्तता (Abstraction) आई और फिर इसका रूप कठिन होता गया और भय का रूप लेता चला गया....

अगर व्यवहारिक गणित और शुद्ध गणित क्या है ये जानने की इच्छा हो तो ये देख लें:

व्यावहारिक गणित (बातें गणित की... भाग III)

शुद्ध गणित (बातें गणित की... भाग II)

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ये प्रो राजू के विचार हैं और इनमें से कई विचारों पर मेरी व्यक्तिगत सहमती नहीं है. उनके कुछ लेख और विचार पढने के बाद उनसे भारी असहमति लगती है. उस पर उनकी किताब पढने के बाद कभी चर्चा होगी.

फिलहाल ये गणित से डरना अपना काम नहीं ये यूरोपीय विचार धारा है. गाँधी बाबा को ये बात पता होती तो स्वदेशी आन्दोलन का हिस्सा बन गया होता "हम गणित से नहीं डरेंगे क्योंकि ये यूरोपीय विचारधारा है" और चरखे के साथ-साथ वैदिक गणित और लीलावती जैसी पुस्तकें भी होती ! खैर अभी भी स्वदेशी आन्दोलन चलाने वाले लोग हैं उन तक बात पहुचाने की जरुरत है. :-)

रंजनाजी को धन्यवाद !

~Abhishek Ojha~

दिवाली पर गणितीय रंगोली !

2008-10-27T04:30:00.001+05:30

दीपावली की हार्दिक शुभकामनायें ! गणित की रंगोली और गणित के ही पटाखों के साथ...

पहले कुछ रंगोली:

इन खुबसूरत रंगोलियों को किसी कलाकार ने नहीं बनाया है. ये गणित के कुछ फलन हैं जिन्हें कंप्यूटर की मदद से बनाया गया है. इन चित्रों को फ्रैक्टल कहते हैं. ये क्या होते हैं और कैसे बनते हैं... ये जानते हैं दिवाली के बाद. अभी आप इतना ही जानिए ये पूर्ण रूप से गणित के सूत्र ही हैं और कुछ नहीं... ये कैनवास पर बने गई किसी कलाकार की कल्पना नहीं गणितज्ञों के दिमाग की उपज है.

और फिर जाते-जाते एक फ्रैक्टल पटाखा:

सारे फ्रैक्टल केओसप्रो से बनाए गए हैं.

~Abhishek Ojha~

इश्क से गिरे, गणित पे अटके ...

2008-10-24T04:32:00.001+05:30

फर्मैट के अन्तिम प्रमेय की श्रृंखला में कई बातें आई थी... अब इतने लंबे समय तक अगर कोई सवाल अनसुलझा रहे तो कहानियाँ तो होगी ही। कई सारे पुरस्कार भी रखे गए थे...

एक ऐसा ही पुरस्कार रखा था जर्मनी के डॉक्टर उद्योगपति पॉल फ्रेडरिक वोल्फ्केल (Paul Friedrich Wolfskehl) ने। यूँ तो पेशे से डॉक्टर थे पर एक बीमारी की वजह से ये पेशा छोड़ना पड़ा। और फिर गणित में रूचि हो गई... पर इन्होने अपनी कमाई के एक बड़े हिस्से को फर्मैट के अन्तिम प्रमेय पर पुरस्कार देने की जो घोषणा की उसके पीछे गणित में उपजी रूचि से ज्यादा इश्क का हाथ था।

कहते हैं की वोल्फ्केल को इश्क में धोखा मिला (जो की अक्सर मिलता है...) और फिर वो ऐसे टूटे की उन्होंने आत्महत्या की सोंची (अक्सर हो न हो ये भी होता ही है)।

पर इसी बीच वो पुस्तकालय चले गए और गणित की एक किताब में खो गए... उन्हें फर्मैट के अन्तिम प्रमेय पर लिखे गए क्युम्मर (Kummer) के एक पेपर में ऐसा लगा कि कुछ गड़बड़ है। दरअसल इस पेपर में क्युम्मर ने कौशी (Cauchy) के काम में गलती निकाली थी, जिससे यह साबित हुआ था कि कौशी का प्रूफ़ ग़लत है. वोल्फ्केल को लगा कि क्युम्मर ही ग़लत है और कौशी अभी भी सही है... हालाँकि उनको जो लगा वो बात तो नहीं थी पर इसमें वो ऐसे उलझे कि आत्महत्या का विचार ही त्याग दिया। और चूँकि ये सारे पेपर फर्मैट के अन्तिम प्रमेय से सम्बंधित थे तो उन्हें लगा की कहीं न कहीं उनकी जान बचाने में इस प्रमेय का भी हाथ हैं।

अब उनकी प्रेमिका कौन थी ये तो कोई नहीं जानता पर ये कहानी उस प्रेमिका का नाम लिए बिना कई किताबों में छपी... और कारण भले थोड़े अलग हो पर कहानी ऐसी ही होती है... कुछ लोग ऐसा कारण भी देते हैं: उन्हें अपनी प्रेमिका की बेवफाई के बाद फिर से दुबारा प्यार नहीं हो पाया और वो नहीं चाहते थे की उनके बाद ये पैसा उनकी बीवी को मिले ! और पुराना प्यार भुलाने में प्रमेय ने मदद तो की ही थी... तो अगर पैसे कहीं लगाना ही है तो इसी काम में क्यों नहीं ! और इस तरह उन्होंने अपनी कमाई के १ लाख मार्क (आज के १० लाख पौंड) उस आदमी को देने की घोषणा कर दी जो पहली बार इस प्रमेय को सही या ग़लत साबित करेगा।

उनकी मृत्यु के करीब ९० साल बाद अंततः ये पुरस्कार एंड्र्यू वाइल्स को १९९७ में दिया गया। इतिहास में एक बार दिए गए इस पुरस्कार के बारे में और जानकारी के लिए यहाँ जाकर पढ़ें.

फर्मैट की श्रृंखला के अन्य लेख:
१. गणित के महानतम सवाल का रोचक इतिहास (बातें गणित की... भाग VII)
२. एक अनसुलझे सवाल से मिली मदद (बातें गणित की... भाग VIII)
३. सात साल में बना १००० पन्नों का हल (बातें गणित की... भाग IX)
४. एंड्र्यू वाइल्स, फील्ड्स मेडल और एक महिला गणितज्ञ (बातें गणित की... भाग X)
५. एक महिला गणितज्ञ के गणित प्रेम की दुखद कहानी ! (बातें गणित की... भाग XI)

गणित द्बारा जान बचाने वाली एक और कहानी:
गणित ने बचाई जान (बातें गणित की भाग... IV)

~Abhishek Ojha~

सुनहरा अनुपात... और सब कुछ !

2008-09-29T04:30:00.004+05:30

पिछले कुछ पोस्ट से... यहाँ पाया जाता है, वहां पाया जाता है ! आज समाप्त ही कर देते है... हर जगह पाया जाता है ! कम से कम हर खुबसूरत चीज में....

हर जगह पाया जाने वाला यह दैविक अनुपात प्रकृति में भी बहुतायत में पाया जाता है... घोघा शंख और मानव शरीर में इसकी उपस्थिति तो हम देख ही चुके हैं. फूलों और पत्तियों की बनावट में भी बड़ी आसानी से इसे पाया जाता है. सूर्यमुखी का फूल सबसे बड़ा उदहारण है जिनमें कई सारे गोल्डन स्पयाराल्स होते हैं. आज मुझे लगता है की लिखने से बेहतर है की कुछ लाजवाब लिंक दे दिए जाएँ... इतनी मेहनत से किसी ने ये साईट तैयार की है... और मेरा विश्वास है की एक बार देखने के बाद आपको आश्चर्य जरूर होगा... कहाँ नहीं पाया जाता ये अनुपात?

मानव शरीर में इसकी उपस्थिति: (सारे तस्वीर इसी लिंक से)

इस लिंक पर आप इन से सम्बंधित चित्र और व्याख्या देख सकते हैं:

- सुन्दरता और चहरे के माप के अनुपात

- मानव शरीर के विभिन्न अंगों का अनुपात

- तर्जनी अंगुली के विभिन्न हिस्सों में इस अनुपात और फिबोनाच्ची की उपस्थिति. (चित्र में)

- कान, आँख, हाथ तथा दांत जैसे अंगों में इसकी उपस्थिति.

- डीएनए और ईसीजी में उपस्थिति

- कुछ मछली, कीडे, चिडिया... इत्यादि में

प्रकृति में: अब ये स्लाइड शो देखिये... गैलेक्सी से लेकर, फूलों, फलों और पत्तियों में आप देख पायेंगे !

वैसे तो हम कला और स्थापत्य कला में इसकी उपस्थिति देख चुके हैं पर आज ये लिंक इतना कमाल का मिल गया की इसका लिंक दिए बिना नहीं रहा गया. तो ये भी देख लीजिये.

मानव शरीर और प्रकृति पर ये स्लाइड शो मिल जाने के बाद लिखने की कुछ गुन्जाईस ही नहीं बचती. अब संगीत में तो वायलिन की संरचना ही देख लीजिये. ऐसा पाया गया है कि जो संगीत सुनने के कक्ष सबसे अच्छे होते हैं उनके माप का अनुपात इस अनुपात के काफ़ी करीब होता हैं. संगीत के क्रम में जो अंतराल होते हैं उनमें इसकी उपस्थिति होती है... मुझे संगीत का कुछ ज्ञान नहीं पर ये बातें शायद आपको समझ में आए.

अब जाते-जाते सुन्दरता... ऐसे प्रयोग किए गए और निष्कर्ष निकाला गया कि जिनके चहरे में ये अनुपात होता है वो ज्यादा आकर्षक होते हैं. परफेक्ट फेस की भी मोडेलिंग की गई. इस पर भी ये लिंक देख आइये. जाते-जाते एक बार और अनुरोध करना चाहूँगा की ये सारे लिंक देख लें... निराशा नहीं होगी. सुनहरे अनुपात की श्रृंखला को अगर इन लिंकों के साथ ख़त्म न किया जाय तो चलती ही रहेगी.

इसके बाद भी किसी को जिज्ञासा हो या जिज्ञासा पैदा हो गई हो... तो अपना ईमेल दे दीजिये पूरी किताब पड़ी है मेरे पास... जिनमें दो २५० पन्नों से ज्यादा की हैं !

इस श्रृंखला की पिछली कड़ियाँ:

सुनहरा अनुपात और स्थापत्यकला

सुनहरा अनुपात और चित्रकारी

सुनहरा आयत, अनुपात और फिबोनाच्ची

कलाकारों और वास्तुशिल्पियों की पसंद: सुनहरा अनुपात

उत्कृष्ट लिंक:

http://milan.milanovic.org/math/

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html

~Abhishek Ojha~

और अगर कभी फुर्सत मिले तो ये विडियो भी... थोड़ा समय लगेगा पर है कमाल का !

सुनहरा अनुपात और स्थापत्यकला

2008-09-21T05:11:00.000+05:30

सुनहरे अनुपात की स्थापत्य कला में उपस्थिति बहुत पुरानी है.... जैसे चित्रकारी में मोनालिसा और लियोनार्दो दा विन्ची की कृतियाँ सबसे पहले दिमाग में आ जाती हैं वैसे ही स्थापत्य कला के प्राचीन अनूठे नमूनों की बात करें तो पिरामिड ही दिमाग में आते हैं। पिरामिड का निर्माण क्यों और कैसे हुआ ये तो आप सब जानते ही हैं... पर अगर गौर से देखा जाय तो सूक्ष्म से बड़े स्तर तक कई वैज्ञानिक तथ्य इनमें छुपे हुए हैं। ठीक दा विन्ची के चित्रों की तरह।

अगर पिरामिड का अनुप्रस्थ काट देखें तो यह ऐसा दीखता है। चित्र में जो phi है वो वही सुनहरा अनुपात है (१.६१८...). यानी पिरामिड की तिरछी ऊंचाई और जमीन के केन्द्र से उसकी दूरी का अनुपात. पिरामिड से निकाला गया यह यह अनुपात सुनहरे अनुपात से दशमलव के ४ अंको तक मिलता है। अगर केन्द्र से यह दूरी १ ले लें तो पिरामिड की ऊंचाई phi के वर्गमूल के बराबर हो जाती है। और इस चित्र में अगर आप थोड़ा और गणित लगा लें तो पायेंगे की झुकी हुई सतह का क्षेत्रफल भी phi ही आ जाता है। फ़राओ निर्मित महान गीज़ा के पिरामिड में यह अनुपात सबसे सटीक मिलता है.

आगे बढ़ते हैं पेरिस की तरफ़... यहाँ पर नोट्रेडेम (Notre Dame) नाम से प्रख्यात कैथेडरल है. यह कैथेडरल फ्रांसीसी स्थापत्यकला के सबसे प्रसिद्द इमारतों में से एक है. फ्रांसीसी क्रांति के समय इसे भारी क्षति पहुँची थी पर पिछली शताब्दी में फिर से इसका जीर्णोद्धार कर पहले की अवस्था में ले आया गया (काश अपने यहाँ भी ऐतिहासिक भवनों के साथ ऐसा हो पाता). १२वीं सदी में निर्मित स्थापत्य कला के इस अद्भुत नमूने के जगमगाते चित्र के साथ ये चित्र भी देख लीजिये, इस चित्र में अनुपात को रेखांकित किया गया है. । तो अगली बात जब आप पेरिस जाएँ तो ध्यान से देखियेगा।

अब वो चित्र जिसे देखकर मैंने इस अनुपात के बारे में पढ़ना चालु किया था। ये चित्र वैसे तो इन्टरनेट से लिया गया है लेकिन पहली बार इसे मैंने 'Numerical methods for Engineers' किताब में देखा था... जिसमें एक छोटे से परिचय के साथ यही चित्र दिया गया है. अथेन्स के एक्रोपोलिस का... ईशा पूर्व पांचवी सदी में निर्मित ऐसे कई ग्रीक भवनों में यह अनुपात था... जिनमें सबसे प्रसिद्द पर्थेनोन नमक यह मन्दिर है। खँडहर का रूप ले चुके इस ईमारत की हुबहू कॉपी अमेरिका के टेनिसी प्रान्त की राजधानी नैशविले में बनाई गई है।

जाते-जाते उक़बा की मस्जिद को देख लीजिये... इसके मुख्य भवन और मीनारों में यह अनुपात आसानी से मिलता है... इसके अलावा आधुनिक समय में टोरंटो का सीएन टावर और संयुक्त राष्ट्र के मुख्य भवन में यह अनुपात है। वैसे ये तो कुछ प्रसिद्द उदहारण हैं... इनके अलावा ऐसे कितने ही भवन होंगे जिनमे यह अनुपात ढूंढा जा सकता है. अपने ताजमहल में भी इसकी उपस्थिति कुछ शोधकर्ताओं ने ढूंढ़ निकाली है !

अगली पोस्ट में प्रकृति से कुछ उदहारण देखते हैं... डीएनए से लेकर गैलेक्सी तक में इस दैविक अनुपात की उपस्थिति... !

इस श्रृंखला के शुरुआत से ही आप सब का सहयोग और उत्साहवर्धन मिलता रहा है... मसिजीवीजी ने पिछले दिनों जनसत्ता के अपने नियमित कालम में सुनहरा अनुपात और इस ब्लॉग कि चर्चा की. लवली कुमारी ने भी बड़े अच्छे सुझाव भेजें हैं. आप सबका आभार. आशा है ऐसे ही मार्गदर्शन मिलता रहेगा... और साथ बना रहेगा.

~Abhishek Ojha~

सुनहरा अनुपात और चित्रकारी

2008-09-19T04:29:00.000+05:30

चित्रकारी की बात हो तो दिमाग में विन्ची का नाम शायद सबसे पहले दो-तीन नामों में से आ जाय और अगर मोनालिसा का नाम इसमें सबसे पहले आए तो कोई आश्चर्य नहीं होना चाहिए। विन्ची की कलाकृतियों में तो हजारों चीज़ें ढूंढ़ ली जाती हैं तो फिर सुनहरा अनुपात ढूँढना कौन सी बड़ी बात है। वर्चुवियन मैन में इस अनुपात की उपस्थिति तो हम देख ही चुके हैं... आज कुछ और चित्रों पर गौर करें: (भला हो इन्टरनेट का सारे चित्र सर्च किए हुए हैं)।

अब अगर लियोनार्दो दा विन्ची के सहयोगी लुका पसिओली (Luca Pacioli)

ने अगर कह दिया 'बिना गणित के कोई कला नहीं' तो क्या ग़लत कहा ! लियोनार्दो के अलावा भी हजारों पेंटिंग में ये अनुपात देखने को मिलता है। अब ये पेंटिंग देखिये कैसे फिट बैठ जाती है सुनहरे आयत में. विन्ची की 'लास्ट सपर' तो आपने सुनी ही होगी... इसके तो छोटे-छोटे हिस्से को मैग्निफाई करके देखने पर भी ये अनुपात मिल जाता है। पूरे चित्र का वर्गीकरण ही देख लीजिये।

शरीर के विभिन्न हिस्सों के अनुपात के रूम में देखा जाना भी शायद एक कारण रहा की चित्रकारों ने इसी अनुपात में पेंटिंग के चरित्रों की बनाया। अब माइकल एंजेलो की प्रसिद्द मूर्ति डेविड को देख लेते हैं: कमाल की बात ये है की डेविड के ये अनुपात विन्ची के वर्चुवियन मैन से एकदम मिलते हैं। वर्चुवियन मैन और आदर्श मानव चेहरे आप पिछली एक पोस्ट में यहाँ देख सकते हैं।

अब नए जमाने में एंड्र्यू रोजेर्स की ये कलाकृति भी देख लीजिये इसका नाम ही 'सुनहरा अनुपात' है, पत्थर और सोने से बनी ये कलाकृति जेरुसलम में स्थित है जो फिबोनाच्ची क्रम पर आधारित है। (एंड्र्यू रोजर्स बड़ी रोचक कलाकृतियाँ बनाते रहे हैं, आप उनके लिंक पर जाकर देख सकते हैं।)
अगले पोस्ट में कुछ स्थापत्य कला के नमूने देखते हैं... अब स्थापत्य कला हो और सुनहरा अनुपात तो पिरामिड भी आना ही चाहिए !

~Abhishek Ojha~

सुनहरा आयत, अनुपात और फिबोनाच्ची (बातें गणित की भाग... XV)

2008-09-11T04:08:00.002+05:30

पिछली पोस्ट से उस सुनहरी दास्ताँ को आगे बढाते हैं. हमने सुनहरे अनुपात (Golden Ratio) की परिभाषा तो जान ही ली थी. आज वाली पोस्ट में थोडी गणित है (बस जोड़-घटाव) पर इसके बाद आने वाली ३-४ पोस्ट में एक भी अंक नहीं आएगा.

फिबोनाच्ची क्रम अंकों का एक क्रम होता है. जिसकी पहली और दूसरी संख्या १ होती है. उसके बाद हर अगली संख्या पिछली दो को जोड़ने से मिलती है, अर्थात फिबोनाच्ची क्रम ऐसा होता है: १, १, २, ३, ५, ८, १३, २१,.... आप देख सकते हैं क्रम के अंक पिछले दो अंकों के जोड़ने से बने है. ये हो गया फिबोनाच्ची क्रम (इस क्रम की संख्याओं को फिबोनाच्ची संख्या के नाम से जाना जाता है)...

अब एक काम करते हैं इस क्रम के हर अंक में उसके पिछले वाले अंक से भाग दे देते हैं। तो नया क्रम कुछ ऐसा होगा:

१, १/१, २/१, ३/२, ५/३, ८/५, १३/८, २१/१३, ...

अब अगर कैलकुलेटर उठा के देखें तो ये संख्याएं कुछ ऐसी आएँगी:

१, १, २, १.५, १.६६, १.६, १.६२५, १.६१५,...

अगर ये काम और बड़े अंकों के लिए करें तो यह धीरे-धीरे सुनहरे अनुपात की तरफ़ पहुच जाता है (१.६१८...). ये एक और तरीका है दैविक अनुपात तक पहुचने का... रास्ते अलग हो सकते हैं पर सत्य तो एक ही है ! जितने बड़े फिबोनाच्ची अंक लीजिये उतना सही सुनहरा अनुपात मिलेगा। अनंत के जितना करीब, सत्य के उतना ही पास !

आगे बढ़ने से पहले एक बात: वो हर चीज़ जिसमें सुनहरा अनुपात या आयत होता है मनुष्य को अच्छी लगती है चाहे वो कोई पेंटिंग हो या किसी का चेहरा, या फिर कोई वस्तु... सुनहरा अनुपात और सुन्दरता की चर्चा किसी और पोस्ट में !

अब आयत (Rectangle) की बात (वो छैंया-छैंया में 'आयत की तरह मिल जाए कहीं' से थोड़ा अलग है)। ऐसा आयत जिसकी भुजाओं का अनुपात 'सुनहरा अनुपात' हो उसे सुनहरा आयत कहते हैं। मतलब ये की आयत की लम्बाई को चौडाई से भाग देने पर १.६१८.... आए। इसकी कई खासियत में से एक ये भी है की अगर इसमें से एक वर्ग काटकर अलग कर दिया जाय तो जो बचता है वो भी सुनहरा आयत ही होता है। जब इस पर पहली किताब आई और इसके गुण चित्रकारों को पता चले तो इसकी सुन्दरता का खूब इस्तेमाल किया गया। कई प्रसिद्द पेंटिंग्स में। बस इस कदर लोग मोहित थे कि इसे ऐसा अनुपात माना जाता है जिससे प्रकृति काम करती है... ये हुआ आयत और इसी से जुड़ी हुई एक रचना आगे बनाएं तो घुमावदार स्पायरल का चित्र बनता है. ये चित्र में एक आयत और दूसरा स्पायरल दोनों सुनहरे ! एक को सुनहरा आयत कहते हैं और दुसरे को सुनहरा स्पायरल.

अब प्रकृति में ये रचना आपको कहाँ-कहाँ दिखती है? कई जगह... जैसे कुछ तो इनमें ही देख लीजिये। गणित ने कैसे कुछ बहुत बड़ी-बड़ी कलाकृतियों और इमारतों को प्रभावित किया है... इसकी चर्चा अगली पोस्ट में करते हैं।

पिछले पोस्ट पर आई द्विवेदीजी और मसिजीवीजी की टिपण्णी और उनके जवाब भी देखने लायक हैं. ये मत कह दीजियेगा की यही क्या कम था जो जाते-जाते और लिंक ठेले जा रहे हो :-)

~Abhishek Ojha~

कलाकारों और वास्तुशिल्पियों की पसंद: सुनहरा अनुपात (बातें गणित की भाग... XII)

2008-09-06T10:14:00.013+05:30

चिटठा चर्चा में पढ़ा कि बिना पोस्ट्स के ब्लॉग ठूंठ हो जाते हैं तो ध्यान आया कि अब इस ब्लॉग को तो ठूंठ ही कहेंगे। गर्मी की छुट्टी भी एक महीने की ही होती है तो सोचा की कुछ ठेल ही दिया जाय अब बहुत हो गया। तो लीजिये प्राचीन से आधुनिक समय तक चित्रकारी से लेकर स्थापत्य तक में उपयोग होने वाले इस सुनहरे अनुपात के बारे में जान लेते हैं।

अनुपात (रेशियो) तो आप जानते ही होंगे, 'वही एक बट्टा दो... दो बट्टे चार, छोटी-छोटी बातों में बँट गया संसार'। एक संख्या को दुसरे से भाग दे दीजिये और वो हो जाता है एक अनुपात। तो ऐसे अनंत अनुपात हो सकते हैं... वैसे ही जैसे अनंत अंक होते हैं। अब इस अनंत अनुपातों में से ये अद्वितीय अनुपात है... जिसे सुनहरा अनुपात (गोल्डन रेशियो) कहते हैं। इसकी खासियत क्या है? अरे भई खासियत ही खासियत है... एक पोस्ट में तो नहीं आ पायेगी। पहले ये जान लेते हैं की ये होता क्या है... ना भी समझ में आए तो कोई बात नहीं है, कम से कम ये तो जान ही सकते हैं की दुनिया की सबसे मशहूर चित्रकार की पेंटिंग और कुछ मशहूर प्राचीन भवनों में इसका उपयोग हुआ था।

कोई भी दो भिन्न संख्या ले लीजिये, अब दो है तो एक बड़ा एक छोटा होगा ही, यदि दोनों के योग को बड़ी संख्या से भाग देने पर वही अनुपात आए जो बड़ी को छोटी से भाग देने पर. तो इस अनुपात को सुनहरा अनुपात कहते हैं (इसे दैविक अनुपात भी कहते हैं). गणितज्ञों को ये रोचक लगा तो वहीँ कलाकारों को इसमें खूबसूरती दिखी। अगर इसे हल किया जाय तो इस अनुपात का मान १.६१८ के लगभग होता है। पाई की तरह ही दशमलव के कई अंको तक इसे निकाला जा सकता है. इस एक अनुपात पर केवल गणितज्ञ ही नहीं कई विधाओं के लोगों ने सालों तक काम किया है... इसका इतिहास करीब २५०० साल पुराना है। इस अकेली संख्या पर कई किताबें है. जी हाँ एक संख्या पर कई किताबें. इस अनुपात का पहला लिखित विवरण युक्लिड द्बारा लिखा गया पर उससे पहले भी इसकी उपस्थिति यूनानी मूर्तियों में देखने को मिलाती है। यूनानियों ने पहली बार ज्यामितीय रचनाओं में इसकी उपस्थिति पर गौर किया. पर सबसे ज्यादा उपयोग हुआ पुनर्जागरण के समय पर जब इसकी खूबसूरती पर कुछ लोगों ने लिखा और फिर चित्रकार, मूर्तिकार, दार्शनिक सबने उपयोग किया।

इस संख्या के गणितीय गुण तो मैं लिखने से रहा क्योंकि इस ब्लॉग पर गणित नहीं लिखा जाता :-) तो इसके उपयोग के कुछ उदहारण देखते हैं। सबसे पहले मशहूर चित्रकार लिओनार्दो दा विन्ची की पेंटिंग देखते हैं। बाबा लिओनार्दो भी कमाल के आदमी थे... सब कुछ करते थे। चित्रकार, मूर्तिकार, गणितज्ञ, अभियंता, लेखक, संगीतज्ञ और पता नहीं क्या-क्या कभी उनकी एक किताब उठा के देखिये क्या डिजाईन बनायी थी उस ज़माने में उन्होंने ! ढूंढने वालों ने उनकी कुछ ५० से ज्यादा पेंटिंग्स में इस अनुपात को ढूंढ़ निकाला. इनकी मशहूर पेंटिंग 'वर्चुवियन मैन' की एक व्याख्या देखिये... और मोनालिसा में भी ये अनुपात ढूंढ़ ही लिया गया, मोनालिसा जैसी पेंटिंग बिना गणित के बन जाय... ऐसा कैसे हो सकता है !

स्थापत्य कला में इसका उपयोग देखना हो तो तकरीबन ४५० वर्ष ईशा पूर्व अथेन्स का एक्रोपोलिस है। इसमें यह अनुपात दिखा क्या आपको? थोड़ा मुश्किल है, मुझे भी नहीं दिख रहा।

वैसे अब इस संख्या की चर्चा हो ही गई है तो इन सब पर एक-एक मजेदार पोस्ट बन जायेगी। तो विस्तृत जानकारी अगले कुछ पोस्ट में आती रहेगी. इन सब के अलावा ये संख्या जीव विज्ञान और संगीत में भी आती है... उफ्फ़ ! संगीत और गणित? यही बाकी रह गया था। पर आपमें से बहुत संगीत में रूचि रखते हैं तो शायद आपको ये अच्छा लगे कि कैसे एक संख्या संगीत में उपयोग हो सकती है... आख़िर दैविक संख्या है !

अब आपको एक और गुण बता दूँ. ये अनुपात होता है १.६१८... अब जरा कैलकुलेटर उठा के १/१.६१८ निकालिए ये भी .६१८... आता है।

बहुत सारे गुण है जब कई किताबें हैं तो एक पोस्ट में क्या होगा। पर आज ब्लॉग को ठूंठ होने से बचाने के लिए इतना ही। आने वाली कुछ पोस्ट इस दैविक संख्या पर। देखते हैं कहाँ-कहाँ मिलता है। निराशा तो नहीं मिलेगी हाँ ये हो सकता है की आप भी इस सुनहरे अंक की उपस्थिति अपने शरीर के साथ-साथ आस-पास की कई चीज़ों में देखने लगें !

~Abhishek Ojha~

सारे चित्र विकिपीडिया से।

एक महिला गणितज्ञ के गणित प्रेम की दुखद कहानी ! (बातें गणित की... भाग XI)

2008-07-31T04:27:00.001+05:30

प्रेम और दुःख का गहरा नाता है. जहाँ एक आ जाय दूसरा आ ही जाता है. और इस प्रेम में भी दुःख आया... महिला होने का अभिशाप भी. आप क्या सोच रहे हैं की जरूर भारत की कहानी होगी ! लेकिन ऐसा नहीं है... ये बात है फ्रांस की.

सोफी जर्मैन फ्रांस की एक महिला गणितज्ञ थी. पर दुर्भाग्य से उनका जन्म तब हुआ था (सत्रहवी शताब्दी) जब महिलाओं को यूरोप में समान अधिकार नहीं थे. बाकी सब तो ठीक लेकिन गणित पढ़ना औरतों के लिए खासकर बुरा माना जाता था. इसे पुरुषों का काम समझा जाता था. शायद यही कारण है की महिला गणितज्ञों की इतनी कमी रही है इतिहास में.

सोफी का जन्म एक अच्छे घराने में हुआ था और बचपन में वो अपने पिता के पुस्तकालय में बैठ कर पढा करती. इसी दौरान उन्हें एक किस्सा पढने को मिला. कहते हैं की आर्कीमिडिज (Archimedes) को एक सिपाही ने उस समय मार दिया जब वो ज्यामिति की कुछ संरचनाओं में लीन थे और उन्होंने सिपाही के सवालों का उत्तर देने की जरुरत नहीं समझी. शहर पर हमला हुआ था और वो गणित में लीन थे. इस किस्से से सोफी सोच में पड़ गई की जब कोई इस विषय में इस तरह तल्लीन हो सकता है तो जरूर इसमें कोई बात होगी. और उन्होंने गणित पढ़ना चालु किया. पर समस्या तब आई जब परिवार वालों को पता चला, परिवार वालों की पूरी कोशिश रही की ये गणित न पढ़े. तब के जमाने में यूरोप में ये काम लड़कियों के लिए बिल्कुल उपयुक्त नहीं समझा जाता था. तब लड़कियों को विश्वविद्यालयों में भी प्रवेश नहीं दिया जाता था. ख़ुद से पढ़ के भी क्या करती?

उनका गणित से प्रेम का ये आलम था की सोफी छुप कर घर के ऐसी जगहों पर गणित पढ़ा करती जहाँ कोई नहीं जाता. मोमबत्ती जला कर... फ्रांस में पड़ने वाली कड़ाके की ठंढ में भी वो जब घर के लोग सो जाते तो गणित पढ़ा करती. अपने प्यार के लिए तकलीफ सहती रही. घर वालों ने बाद में हार मान ली और परेशान करना छोड़ दिया. पर ये प्यार उन्हें इतनी आसानी से नहीं मिलने वाला था. गणित ख़ुद से पढ़ती तो ये कुछ पता नहीं होता की जो कर रही हैं सही है या ग़लत. ये भी नहीं पता होता था की जिन चीज़ों पर काम कर रही है कहीं वो पहले ही तो नहीं खोज लिए गए! ठीक उसी तरह जैसे रामानुजन, हार्डी से मिलने के पहले किया करते थे. कितना ही गणित वो ख़ुद लिख गए जिसकी खोज उस समय तक की जा चुकी थी. (रामानुजन की कहानी की तो श्रृंखला बन ही जायेगी, अभी उन पर एक और किताब पढ़ रहा हूँ. वो भी ख़त्म हो जाय तो लिखता हूँ). बिना औपचारिक शिक्षा के उन्हें कुछ पता ही नहीं था.

पर जहाँ चाह वहाँ राह ! उन्होंने एक नया तरीका निकाला... सेक्सपियर के ट्वेलव्थ नाईट की तरह उन्होंने एक ऐसे लड़के का छद्म नाम ले लिया जो पढ़ाई छोड़ चुका था, और वो उसके नाम से प्रश्न पत्रों का हल जमा कर देती. महान गणितज्ञ लैग्रंजे (Lagrange) ने जब उत्तरों को देखा तो उन्होंने सोफी को मिलने बुला भेजा और सोफी को अपना राज खोलना पडा. लैग्रंजे ने सोफी की तारीफ तो की पर फिर भी नियम के हिसाब से वो विश्वविद्यालय में प्रवेश नहीं ले सकती थी. इसी बीच सोफी एक और महान गणितज्ञ गॉस (Gauss) को अपने काम भेजती और गॉस पत्रों में जवाब दिया करते. यहाँ भी वो अपने छद्म नाम का ही इस्तेमाल करती. इस तरह कुछ दिनों तक चला पर ये बात भी ज्यादा दिनों तक नहीं चली. नेपोलियन ने गॉस के शहर प्रसिया (Prussia) पर हमला किया तो सोफी को बचपन वाली कहानी याद आ गई और उन्हें लगा कि कहीं आर्कीमिडिज वाली घटना गॉस के साथ भी न हो जाय. इसलिए उन्होंने अपनी एक सहेली को गॉस का ख़ास ध्यान रखने को कहा, उस सहेली ने गॉस को सब कुछ बता दिया. गॉस को बहुत आश्चर्य हुआ... की एक महिला भी गणित पर इतना अच्छा काम कर सकती है ! और उन्होंने सोफी को जो पत्र लिखा उसमें उनकी खूब प्रशंसा की. पर इस घटना के चंद दिनों बाद ही गॉस गोटिन्गेन विश्विद्यालय में खगोल शास्त्र के प्रोफेसर बन गए और गणित पर काम करना कम कर दिया और इसके साथ ही पत्र व्यवहार भी बंद हो गया.

पर समय के साथ सोफी का गणित प्रेम और संघर्ष जारी रहा... वो फ्रेंच गणित अकादमी में अपने काम को भेजती तो... काम उच्च कोटि का होते हुए भी उसमें कई छोटी-छोटी गलतियाँ होती. ऐसा अक्सर गणित में होता है पर अगर साथ में काम करने वाले होते हैं तो चर्चा और सुझाव से ये गलतियाँ हटाई जाती हैं. पर उन्हें मदद करने वाला कोई न था. फिर भी अंततः एक ऐसा समय आया जब वो अकादमी की बैठक में जाने वाली पहली ऐसी महिला बनीं जो किसी गणितज्ञ की पत्नी नहीं थी. इन सबके साथ गॉस ने उन्हें मानद डिग्री देने की सिफारिस भी की... उन्हें ये दी जाने वाली थी पर उसके पहले ही वो दुनिया छोड़ चली.

आज वो पहली महिला गणितज्ञ के रूप में जानी जाती हैं जिसने अच्छे और उपयोगी प्रमेयों की खोज की. सोफी लिखित कुछ दस्तावेजों से ये भी बात सामने आई की फ़र्मैट के प्रमेय पर उनकी सोच सही दिशा में थी. जहाँ उस समय के सारे गणितज्ञ किसी एक ख़ास अंक के लिए प्रमेय को साबित करने की कोशिश करते वहीँ सोफी ने एक विस्तृत सोच से शुरुआत की और कई सारे सिद्धांतों की मदद से पूरा प्रमेय एक साथ हल करने की कोशिश की. पर दुर्भाग्य न औपचारिक शिक्षा मिल पायी ना ही किसी गणितज्ञ का सहयोग... इतिहास के पन्नों में ऐसी कितनी ही प्रतिभाएं दफ़न हो गयीं... कारण बस यही था की वो महिला थी. नहीं तो आज उनका नाम कहीं और होता.... और पहली महिला गणितज्ञ होने के खिताब के साथ-साथ मुख्य धारा के महान गणितज्ञों में भी उनकी गिनती होती.

~Abhishek Ojha~

चित्र साभार: http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/germain.htm

एंड्र्यू वाइल्स, फील्ड्स मेडल और एक महिला गणितज्ञ (बातें गणित की... भाग X)

2008-07-29T04:46:00.002+05:30

पिछले पोस्ट में हमने देखा की किस तरह एंड्र्यू वाइल्स ने सात सालों की कठिन मेहनत के बाद एक बड़ा सा हल निकाला. ये उस सवाल का हल था जिसे हल करने की कोशिश अब तक के सबसे महान गणितज्ञ कर चुके थे. एंड्र्यू वाइल्स ने कितनी मेहनत की थी इसका अंदाजा तो आप पिछले पोस्ट पर उनकी तस्वीर देखकर ही लगा सकते हैं. एंड्र्यू वाइल्स ने गणित का महानतम सवाल हल किया और एक सवाल के हल ने उन्हें महान गणितज्ञों की श्रेणी में ला खड़ा किया. पर गॉस, ओय्लर जैसे गणितज्ञ क्या इनसे कमजोर थे? ऐसे सवाल तो उठने ही नहीं चाहिए पर लोग उठाते हैं. और मेरे जैसे जो गॉस की विद्वता के घोर प्रसंशक हैं वो यही कहते हैं कि न तो गॉस ने सात साल तक इस सवाल पर काम किया और ना ही तब गणित इतना विकसित था. हाँ ये बात और है की अगर गॉस ने ७ सालों तक इस सवाल पर काम कर दिया होता तो आज नंबर थियोरी की कई शाखाएं होती. गॉस की विद्वता तो आगे कई पोस्ट में आएगी ही. पर एंड्र्यू वाइल्स की विद्वता भी अतुलनीय है और ऐसे विवाद सही में कोई मायने नहीं रखते. एंड्र्यू वाइल्स अपने गणित के अनुभव के बारे में कहते हैं:

अगर मुझे गणित पर अपने अनुभव के वर्णन करने को कहा जाय तो शायद मैं कहूं की यह एक अंधेरे कमरे में प्रवेश करने की तरह है, पहला कमरा... अंधकारमय, बिल्कुल अंधकारमय. इधर-उधर भटकना, उछलना और फिर धीरे-धीरे पता चलने लगता है की कहाँ कौन सा फर्नीचर है. और फिर अंततः ६ महीने या ऐसे ही कुछ समय पश्चात पता चलता है की स्विच किधर है, उसे दबा देना और फिर सबकुछ जगमगा उठता है... तब सब कुछ दिखने लगता है और ये पता चलता है कि मैं कहाँ हूँ ! -- एंड्र्यू वाइल्स बीबीसी की एक डॉक्युमेंट्री के प्रारम्भ में.

हर चार साल पर दिया जाने वाला फील्ड्स मेडल गणित के क्षेत्र का नोबेल पुरस्कार कहा जाता है. तो फिर एंड्र्यू वाइल्स को निर्विवाद रूप से मिल जाना चाहिए. पर फील्ड्स मेडल में एक शर्त होती है की पुरस्कार मिलने वाले साल तक गणितज्ञ की आयु ४० से ज्यादा नहीं होनी चाहिए ! एंड्र्यू वाइल्स का जन्म १९५३ में हुआ था और उस हिसाब से १९९४ में वो एक साल ज्यादा के हो गए थे. नियम तो फिर नियम ही है तो उन्हें ये पुरस्कार नहीं दिया गया*. पर फील्ड्स मेडल की समिति ने उन्हें पुरस्कृत करना ही उचित समझा और १९९८ में उन्हें अलग से एक विशेष रजत-फलक दिया गया. फील्ड्स मेडल पर महान गणितज्ञ आर्कीमिडिस की तस्वीर होती है. ४० साल से कम क्यों? इसकी एक आम धारणा ये है की गणितज्ञ अपनी मौलिक सोच (Original ideas) ४० के पहले ही सोचते हैं इसके बाद वो गणित पर बस काम करते हैं खोज तो कम उम्र में ही होती है. इस चालीस साल की बात से याद आया जी एच हार्डी की ये बात जो उन्होंने अपनी पुस्तक 'A Mathematician's Apology' में लिखी है.**

"किसी भी गणितज्ञ को ये नहीं भूलना चाहिए की गणित युवा लोगों का खेल है. इसका सबसे आसान उदहारण यही है की रोयल सोसाइटी में गणितज्ञों की औसत उम्र सबसे कम है. और भी कई उदहारण लिए जा सकते हैं न्यूटन ने ५० की उम्र में गणित छोड़ दिया. वे मानते थे की ४० वर्ष की उम्र के साथ ही उनकी मौलिक रचनात्मकता के महानतम दिन ख़त्म हो गए...
...गैल्वास की मृत्यु २१ साल की उम्र में हो गई. रामानुजन ३३ में और रीमान ४० की उम्र में चल बसे. कुछ लोगों ने इस उम्र के बाद भी काम किया है जैसे की गॉस ने डिफेरेंसिअल जियोमेट्री तब लिखी जब वो ५० साल के थे, लेकिन इसका विचार उन्हें १० साल पहले ही आ गया था. मेरी नज़र में कोई बड़ी गणितीय खोज ४० की उम्र के बाद किसी ने नहीं की. और अगर किसी की इस उम्र के बाद गणित गणित में रूचि कम हो जाती है तो इससे न तो उसकी न गणित की ही कोई क्षति होने वाली है." --जी एच हार्डी

कई गणितज्ञों ने फ़र्मैट के अन्तिम प्रमेय पर काम किया ये तो हम देख ही चुके है पर अगर इस महिला गणितज्ञ की चर्चा न हो तो शायद श्रृंखला अधूरी रह जाय. पोस्ट लम्बी हो रही है इसलिए आगे नहीं लिखूंगा बस इतना बताता चलूँ की इस महान गणितज्ञ को महिला होने का खामियाजा भुगतना पड़ा. नहीं तो आज इतिहास में कहीं और ज्यादा नाम होता... फ़र्मैट के अन्तिम प्रमेय पर सही तरीके से सोचने वाले बहुत कम लोगों में वो एक थी. उस संघर्ष, दुःख और गणित से प्यार की कहानी अगले पोस्ट में.

चित्र: साभार, विकिपीडिया
*ऐसे पुरस्कारों के साथ ऐसी कहानियाँ तो होती ही है... शायद नोबेल पुरस्कार की सबसे बड़ी कमी हमेशा के लिए ये रह जाय की गांधीजी को नोबेल पुरस्कार नहीं मिला. गांधीजी ऐसे किसी पुरस्कार के मोहताज तो न थे... पर ये मलाल शायद नोबेल समिति को रहे. इस बारे में अगर रूचि हो तो नोबेल पुरस्कार की आधिकारिक वेबसाइट पर इस लिंक पर पढ़ आए.
**पुस्तक की सॉफ्ट कॉपी पास में होने का यह एक बहुत बड़ा फायदा है... जब जिस पैराग्राफ की जरुरत हो खोल के सर्च कर लो.

सात साल में बना १००० पन्नों का हल (बातें गणित की... भाग IX)

2008-07-25T04:45:00.002+05:30

पिछले पोस्ट में हमने देखा की किस तरह अनसुलझे सवालों का पिटारा तैयार हो गया और सारे अनसुलझे सवाल एक-दुसरे से जुड़े हुए थे. इस बीच विशेषज्ञों ने सलाह दी की पानी सर के ऊपर से जा रहा है और बेहतर होगा की अब नंबर थियोरी से ऊपर उठकर सोचा जाय. और लोग नए जोश से इस सवाल को हल करने में लग गए. अब एक और गणितज्ञ का परिचय हो जाय. एंड्र्यू वाइल्स (Andrew Wiles) कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय से गणित पढ़कर प्रिन्सटन पहुच गए पढाने, अभी भी वहीँ पढाते हैं...

इस दौरान एक सवाल हल हो गया. बर्कली स्थित कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय के केन रिबेट (Ken Ribet) ने जीन पिएरे के एप्सिलोन अनुभाग (Epsilon Conjecture) को साबित कर दिया. ये ख़बर सुनकर एंड्र्यू वाइल्स ने तानिमाया अनुभाग हल करने की ठान ली... क्योंकि अगर ये हो गया तो फिर फ़र्मैट का अन्तिम प्रमेय भी हो गया. और फिर सात सालों तक सारे शोध कार्य छोड़कर एकांत में... वो काम करते रहे... केवल एक सवाल पर... गणित के महानतम सवाल पर. कुछ रिसर्च पेपर से, पर ज्यादातर ख़ुद के दिमाग से... वो काम करते रहे. कहते हैं की २ साल तक वो सवाल में अपने आपको डुबाये रहे ताकि एक स्ट्रेटजी सोच सकें.

तानियामा के अनुसार इलिप्टिक कर्व और मोडुलर फोर्म्स दोनों सेट एक ही हैं... यानी हर एक सदस्य के लिए दुसरे में वैसा ही सदस्य मौजूद है... पर समस्या ये की दोनों सेट में अनंत सदस्य ! गिनें तो कैसे गिनें? उन्होंने सहायता ली गैल्वास (Galois) के सिद्धांतों की. (गैल्वास की मजेदार के साथ-साथ दुखद कहानी जल्दी ही किसी पोस्ट में). गैल्वास के सिद्धांत ने कमाल किया और अब समस्या रह गई गैल्वास के सिद्धांत से मोडुलर फॉर्म के तुलना की. तीन साल में इतना हो पाया और ये बात कोई नहीं जानता था सिवाय एंड्र्यू की पत्नी के! इसके बाद कई सारे शोध और कईयों की थियोरी का इस्तेमाल किया एंड्र्यू ने. वो ये बातें किसी को नहीं बताते दो कारण थे एक ये की वो अपना ध्यान नहीं भंग करना चाहते थे और दूसरा ये... कौन कहे की आज के जमाने में भी लोग फ़र्मैट के अन्तिम प्रमेय पर काम करते हैं :-) वो ये बातें पत्नी के अलावा केवल अपने मित्र निक कट्ज़ (Nick Katz) को बताते थे.

और फिर १९९३ में न्यूटन इंस्टीच्युट ऑफ़ मैथेमेटिकल साइंसेस, कैम्ब्रिज में अपने गाइड द्बारा आयोजित कांफ्रेंस में उन्होंने व्याख्यान दिया 'इलिप्टिक कर्व, मोडुलर फॉर्म और गैल्वास रेप्रेसेंटेशन' पर. व्याख्यान में कई नए विचार प्रस्तुत किए गए पर न तो व्याख्यान के शीर्षक में न ही व्याख्यान में फ़र्मैट की चर्चा थी. जब व्याख्यान देते-देते वो अंत तक पहुचे तो सुनाने वालों के चहरे गंभीर हो गए थे... सबको लग गया था की अब कुछ बड़ा होने वाला है और फिर उन्होंने लिख दिया 'फ़र्मैट के अन्तिम प्रमेय का कथन' और लिख दिया हेंस प्रूव्ड !

और अगले दिन हर अखबार में ये ख़बर आई की अंततः प्रमेय सिद्ध हो गया !

एक कमिटी बनी लंबे चौडे हल की जांच के लिए और फिर निकली एक गलती... [गणित के प्रूफ़ में गलती होना तो आम बात है... उनकी तो हो गई. हम तो जान बुझ के कर दिया करते थे... जब प्रूफ़ नहीं आ रहा हो तो एक तरफ़ से बढ़ते-बढ़ते कहीं तक गए, दूसरी तरफ से चले तो कहीं और. फिर बीच में एक लाइन ऐसी होती थी जहाँ दोनों को बराबर दिखा देते :-) पर आईआईटी के प्रोफेसर कभी नंबर नहीं दिए... उत्तर पुस्तिका में जब How? Why? और So What? How Come? जैसी टिपण्णी लिखी मिल जाती तो चुप-चाप उत्तर पुस्तिका को मोड़ के रख लेते :(] इधर फिर वापस एंड्र्यू को लगना पड़ा सवाल पर... पर इस बार मामला इतना आसान नहीं था, पहले वो बिना किसी को बताये इस सवाल पर शान्ति से काम करते पर अब सबकी नज़रें इस पर लगी हुई थी... (गनीमत है 'आज तक' जैसे चैनल न थे अमेरिका में तब, नहीं तो बेचारे कुछ ना कर पाते). ध्यान नहीं लग पा रहा था और पहली बार एंड्र्यू ने किसी की मदद ली और उन्होंने अपने पूर्व छात्र टेलर को बुला भेजा. एक साल तक कोई सफलता हाथ नहीं लगी... और फिर एक दिन, उन्हें समस्या दिख गई और उन्होंने उसे निपटा दिया. और फिर फ़र्मैट का अन्तिम प्रमेय पूरी तरह से हल हो गया.

पूरा हल १००० हजार पन्नो का हुआ... जो व्याख्यान 'न्यूटन इंस्टीच्युट ऑफ़ मैथेमेटिकल साइंसेस' में उन्होंने दिया था वही कुछ २०० पन्नो का था. तो फ़र्मैट ने अगर कहा था की किताब के हाशिये में कम जगह है तो क्या ग़लत कहा था ! पिछले पोस्ट की टिपण्णी में ज्ञानजी ने कहा की उनके उपनिदेशक ने इस सवाल को लेकर फील्ड्स मेडल के सपने दिखाए थे... तो क्या एंड्र्यू वाइल्स को फील्ड्स मैडल मिला? क्यों नहीं मिलेगा भाई, आख़िर उन्होंने गणित का महानतम सवाल हल किया था ! पर क्या और क्यों हुआ जानते हैं अगली पोस्ट में. (फील्ड्स मेडल गणित के क्षेत्र में नोबेल पुरस्कार के समान माना जाता है).

~Abhishek Ojha~

एक अनसुलझे सवाल से मिली मदद (बातें गणित की... भाग VIII)

2008-07-23T04:06:00.000+05:30

पिछले पोस्ट में हमने चर्चा की थी फ़र्मैट के लिखे एक नोट से एक कठिनतम सवाल बन जाने की. हमने ये भी देखा की बड़े-बड़े गणितज्ञ धराशायी हो गए पर सवाल टस से मस नहीं हुआ.

पर इस बीच कुछ हुआ ही नहीं ऐसा भी नहीं है कई गणितज्ञों ने इस सवाल को कुछ ख़ास परिस्थितियों के लिए सही सिद्ध कर दिया... ओय्लर (Euler) ने n को ३ लेकर किया तो द्रिच्लेट (Dirichlet) और लिजेंद्रे (Legendre) ने मिलकर ५ के लिए. इसी तरह कुछ और अंको के लिए सिद्ध किया गया, १८५७ में क्युम्मर (Kummer) ने रूढ़ संख्याओं के एक ख़ास वर्ग के लिए सिद्ध किया. पर सारे अंको के लिए सिद्ध करना अभी भी दूर की बात थी. ब्रिटानिका एन्साइक्लोपेडिया में इस सवाल के जिक्र के अंत में लिखा गया था कि 'शायद यह प्रमेय कभी सही या ग़लत साबित न किया जा सके'.

महान गणितज्ञ हिल्बर्ट (Hilbert) से जब ये पूछा गया की वो इस सवाल पर काम क्यों नहीं कर रहे तो उन्होंने जवाब दिया कि 'इस सवाल के लिए मुझे तीन साल तक गहन अध्ययन करना पड़ेगा और उसके बाद भी संभवतः हार का सामना करना पड़े.' हिल्बर्ट और इस सवाल पर एक प्रसिद्द किस्सा भी है, उन दिनों जहाज का नया-नया आविष्कार हुआ था और हिल्बर्ट को एक कांफ्रेंस में जाना था उन्होंने कह दिया कि मैं 'फ़र्मैट के अन्तिम प्रमेय' पर बोलने वाला हूँ जब उनका प्रेजेंटेशन ख़त्म हो गया और फ़र्मैट का कोई जिक्र तक नहीं आया तब लोगों ने पूछा कि आप तो फ़र्मैट पर बोलने वाले थे. हिल्बर्ट ने जवाब दिया कि वो मैंने इसलिए कहा था कि अगर प्लेन क्रैश हो गया होता तो मैं भी फ़र्मैट कि तरह अमर हो जाता. लोगों को लगता कि मैंने सिद्ध कर लिया था.

इस बीच १९८८ में एक हल आया और खूब लोकप्रिय हुआ पर जब जांच हुई तो इसे ग़लत करार दिया गया... कुछ गणितज्ञों ने 'फ़र्मैट का अन्तिम प्रमेय कैसे साबित न करें' जैसे पेपर भी छपे जिसमें ये लिखा जाता कि इस तरीके से मैंने कोशिश कर ली है कोई फायदा नहीं !

सवाल कि कठिनता बढती गई और कहानियाँ भी बनती गई... इन सब के बीच १९५५ में २८ वर्षीय जापानी गणितज्ञ तानियामा (Taniyama) ने एक नया सवाल पेश किया... जो कहता है कि इलिप्टिक कर्व्स (Elliptic Curves) और मोडुलर फोर्म्स (Modular Forms) के बीच सम्बन्ध है... या फिर यूँ समझ लें कि छद्म वेश में दोनों एक दुसरे का ही रूप हैं. इसे समझने कि जरुरत नहीं बस इतना जान लीजिये कि ये नया सवाल कुछ ऐसा कहता था कि गणित की दो एकदम ही अलग चीजें एक-दुसरे से जुड़ी हुई है. लोगों को ज्यादा समझ नहीं आया, और इसी बीच १९५८ में तानियामा ने आत्म हत्या कर ली. उनके मित्र शमुरा (Shimura) ने इस सवाल पर और काम किया और लोगो तक इसे पहुचाया. अब कुछ फ़र्मैट की ही तरह तानियामा ने कह दिया था की ऐसा है... पर कोई प्रमाण इसका भी नहीं था. (इसे तानियामा-शिमुरा सवाल (Taniyama-Shimura Conjecture) के नाम से जाना जाता है).

पर क्या इस समानता के अलावा भी कोई और समानता थी? दोनों एकदम अलग... एक कहता है की इलिप्टिक कर्व और मोड्यूलर फॉर्म एक हैं... दूसरा कहता है की एक समीकरण का हल कोई ३ संख्याएं नहीं हो सकती ! दोनों में कोई सम्बन्ध नहीं... पर नए विचार ही तो कमाल करते हैं... १९८५ में ग्रेहार्ड फ़्रे नाम के जर्मन गणितज्ञ वो सोच दिखाया जो कभी कोई सोच ही नहीं सकता था. फ़्रे ने मान लिया की फ़र्मैट ग़लत हैं, यानी कम से कम एक हल होना चाहिए उनके समीकरण का ! पर ये मानकर उन्होंने ये पाया की अगर ऐसा हुआ तो एक ऐसी इलिप्टिक कर्व बन जायेगी जो मोडुलर नहीं होगी ! पर तानियामाजी कह गए थे की हर इलिप्टिक मोडुलर होनी चाहिए. बस उन्होंने एक और निष्कर्ष निकाल दिया की अगर फ़र्मैट ग़लत हैं तो फिर तानियामा भी सही नहीं हो सकते यानी उन्हें भी ग़लत होना पड़ेगा. इसी को तार्किक भाषा में लिख दें तो ये कथन ऐसा हो जाता है: अगर तानियामा का कथन सत्य है तो फ़र्मैट का अन्तिम प्रमेय भी सत्य होगा. तो अब ये दोनों अनसुलझे सवाल जुड़ गए. पर समस्या ये थी की फ़्रे चचा ने भी कुछ साबित नहीं किया, बस कमाल का विचार देकर उन्होंने सोचा की विशेषज्ञ लोग ये सब साबित कर देंगे. और ऐसा ही हुआ विशेषज्ञों ने काम करना चालु कर दिया (फ़्रे के विचार को जीन पिएरे के विस्तार के बाद एप्सिलोन अनुभाग के नाम से जाना गया).

अब देखिये सारांश...

- फ़र्मैट ने एक बात कही की ऐसा नहीं हो सकता.
- तानियामा ने कहा की दो बिल्कुल ही अलग गणितीय चीजें जो देखने में तो बिल्कुल अलग हैं लेकिन ध्यान से देखो तो एक ही है.
- फ़्रे और जीन पिएरे ने कहा की भाई अगर तानियामा सही हैं तो फ़र्मैट भी सही है.

अभी तक सबने बस कहा... किसी ने कुछ साबित नहीं किया. और गणित में अगर साबित करना हटा दिया जाय तो कोई फेल ही ना हो :-) बिना साबित किए कभी किसी बात का कोई मतलब है गणित में ... कुछ नहीं ! तो फिर इन अनसुलझे हुए सवालों की पोटली से आगे क्या हुआ? देख के तो यही लगता है की अनसुलझे सवालों का अम्बार लगता जा रहा है... बस सबके तार जुड़ रहे हैं... तो क्या ये तार कुछ सुलझा पायेगा? जानते हैं अगले पोस्ट में!

- समीरजी क्यों ये कह कर दुखी कर रहे हैं की मैं गणित जानता हूँ... गणित ही जान रहा होता तो कहानियाँ क्यों सुनाता :-) और आपके विकल्प अच्छे तो हैं पर फिजिबल नहीं ! फिजिबल विकल्पों का सेट लेकर आइये तो सुझाव मिलेगा.

- अनुराग जी धन्यवाद आपका... सप्ताह में एक से दो पोस्ट तक करने की कोशिश है... सम्भव हो पाया तो सारा श्रेय आपका.

~Abhishek Ojha~

गणित के महानतम सवाल का रोचक इतिहास (बातें गणित की... भाग VII)

2008-07-17T05:45:00.002+05:30

आज चर्चा करते हैं गणित के महानतम सवाल की. सवाल इतना आसान की १० साल की उमर के बच्चे को समझ में आ जाय. और इतना कठिन की गॉस जैसे महानतम गणितज्ञ परेशान हो जाय. इस सवाल की कठिनता इसी बात से लगे जा सकती है की गॉस ने इस सवाल को हल करने की कोशिश की और अंत में परेशान होकर उन्होंने एक पत्र में लिखा था: "वास्तव में, मैं यह स्वीकार करता हूँ की मुझे इस सवाल में बहुत कम रूचि है और ऐसे तो कई सवाल बनाए जा सकते है, जिन्हें न तो सही साबित किया जा सकता है न ग़लत."

फ़र्मैट सोलहवी शताब्दी के एक महान गणितज्ञ थे, पेशे से वकील इस महान फ्रांसीसी गणितज्ञ ने गणित के कई क्षेत्रों में महतवपूर्ण योगदान किया. जब न्यूटन ने कलन (Calculus) का आविष्कार किया तो उन्होंने कहा की इसका विचार उन्हें फ़र्मैट के काम को देखकर ही आया. १६३७ में फ़र्मैट ने एक किताब पढ़ते हुए उस पर लिखा की "मेरे पास इस सवाल का एक अद्भुत हल है, लेकिन इस किताब के हाशिये पर इतनी कम जगह है की ये लिखा नहीं जा सकता." अब उस हाशिये की कम जगह ने ऐसा गुल खिलाया की ये सवाल गणित का कठिनतम सवाल बन गया. गॉस ने तो कोशिश की ही की उनके अलावा ओय्लर, गैल्वास जैसे गणितज्ञों ने भी हाथ आजमाया, ऐसा माना जाता है की इस बात के छपने के बाद कोई गणितज्ञ ऐसा नहीं रहा जिसने इसे हल करने की कोशिश न की हो. गणितज्ञ ही क्यों जो भी सुनता एक बार कोशिश कर लेता, है ही इतना सरल देखने में. और फ़र्मैट चाचा ने लिख ही दिया था की उनके पास हल है, सब सोचते की लगे हाथों नाम कमा लिया जाय. फ़र्मैट के नाम पर ही इसे 'फ़र्मैट का अन्तिम प्रमेय'(Fermat's Last Theorem) नाम से जाना जाता है.

सवाल कुछ इस तरह है: अगर n, २ से बड़ा हो तो x^n + y^n = z^n का कोई अशून्य हल नहीं हो सकता. अर्थात ऐसी कोई तीन शून्य से भिन्न संख्याएं (x,y,z) नहीं हो सकती जिसके लिए समीकरण सत्य हो. अगर आपने पाइथागोरस प्रमेय पढ़ा है तो यह n की जगह २ रखने पर होता है, n को अगर २ लें तो ऐसी कई संख्याएँ हैं जैसे x=3, y=4, z=5 (3^2 + 4^2 = 5^2). पर क्या n>२ के लिए ऐसी तीन संख्याएं x,y,z सम्भव हैं?

फ़र्मैट के साथ ही इसका हल भी चला गया और अब लोग इस बात पर लगे रहे की ये कथन सत्य है या नहीं. इस सवाल की खूबसूरती यही थी की सब कोई समझ जाता हर किसी को लगता की अरे इसमें क्या है हल किए देता हूँ ! पर सदियाँ बीत गई. इस सवाल ने कईयों के दिन और रातें ख़राब की. पाइथागोरस प्रमेय हल करना आसान था लेकिन २ से बढ़ते ही... फ़र्मैट ने कह दिया की संख्याएं सम्भव नहीं (और ये भी कह गए थे की उनके पास इस बात का प्रमाण भी है)... लेकिन ये बात साबित कैसे हो... ऐसी संख्याएं हो भी तो सकती है ! लोग साबित करने की कोशिश करते. कई ऐसे नंबर ही ढूंढ़ते जिसके लिए ये समीकरण सही हो जाय. वैसे तो फ़र्मैट ने किताबें पढ़ते हुए ऐसे कई नोट लिखे थे किताबों के हाशियों पर, सब साबित होते चले गए... अंत में बच गया ये और इसीलिए नाम पड़ गया 'फ़र्मैट का अन्तिम प्रमेय'.

अब कम्प्यूटर की खोज हो गई तो क्या ऐसा नहीं है की सारे नंबर के लिए चेक कर लो. ये कौन सी बड़ी बात है... लेकिन बड़ी बात है... क्योंकि ये काम कम्प्यूटर नहीं कर सकता! कितने नंबर आप चेक करेंगे?... हजारों, लाखों तब भी बहुत सारे बचे रहेंगे... आप अनंत तक कभी नहीं जा सकते... लाखों करोडो अंक कम करते जाएँ तब भी अनंत अंक बचे रहेंगे. ॐ पूर्णमदः पूर्णमिदं पूर्णात्पूर्णमुदच्यते पूर्णस्य पूर्णमादाय पूर्णमेवावशिष्य्ते॥

आप अनंत से अनंत निकाल ले तो भी अनंत ही शेष रहता है. तो कम्प्यूटर फ़ेल. यही कारण है की ऐसे प्रमाण को गणितज्ञ नकार देते हैं. गणित में कुछ भी साबित करने की प्रथा रही है. स्टेप-बाई-स्टेप ताकि कुछ गुन्जाईस ना बची रह जाय. गणितज्ञों को चुनौती बहुत पसंद है पर ये चुनौती उन्हें हराती रही. धीरे-धीरे ऐसा लगा की गणितज्ञों ने हार मान ली है... इस सवाल पर काम करना ना के बराबर हो गया. या यूँ कह लें की कोई भी इस पर काम करने से डरता था (जो करता भी छुप के करता, ताकि लोग हँसी ना उडाएं). तो फिर क्या हुआ इस सवाल का? क्या किसी ने हिम्मत की... अगर आप जानते तो अच्छी बात हैं, वैसे जानेंगे यहाँ पर बाकी कई सारी रोचक जानकारी के साथ अगले पोस्ट में !

इस सवाल पर कई किताबें है और एक प्रसिद्द डोक्युमेन्ट्री भी बनी. इस पोस्ट में कई बातें उस डॉक्युमेंट्री से भी ली जायेंगी.

कल रंजनाजी ने एक ब्लॉग समीक्षा लिखी इस श्रृंखला पर. आप इस लिंक पर जाकर पढ़ सकते हैं. बहुत-बहुत आभार रंजनाजी का. रंजनाजी ने कुछ ज्यादा ही बड़ाई कर दी है. पर उनका आशीर्वाद मिला है, खुश रहने का... तो खुशी-खुशी सर माथे पर.

- आंकडों वाली पोस्ट पर द्विवेदीजी की टिपण्णी से एक बात याद आई: हमारे समाजशास्त्र (Sociology) के एक प्रोफेसर सांख्यिकी(Statistics) के प्रोफेसर के पास आए थे और उन्होंने कहा की मेरे पास ये कुछ आंकडा है और मैं अपनी मान्यताओं को गणित का जामा पहनाना चाहता हूँ तो आप कोई ऐसा मॉडल बता दीजिये जिससे वो ही रिजल्ट आयें जो मेरी मान्यता का समर्थन करें.:-) तो गणित तो बेचारा गणित है उसका उपयोग भी लोग अपनी मर्जी से कर लेते हैं. मूक बेचारा क्या कर सकता है भला !
- समीरजी आपको वेटेड एवेरेज से डरने की जरुरत नहीं है... आप टिपण्णी करने वालो पर की जाने वाली हर तरह की अनाल्य्सिस में आउटलायर ही रहेंगे. किसी भी कर्व फिटिंग से पहले ही आप को बाहर कर दिया जायेगा :-) नहीं तो अकेले ही सारा कर्व स्क्यू कर देंगे आप.

चित्र साभार: विकिपीडिया

~Abhishek Ojha~

आंकडों की समस्या और ब्लॉगजगत का गणित (बातें गणित की भाग... VI)

2008-07-12T01:36:00.013+05:30

पिछले पोस्ट पर आई दो टिपण्णीयाँ:

अनूप शुक्ल: अच्छा गणितीय उपयोग है। निष्कर्ष के लिये गणित सहयोगी है लेकिन ये आंकड़े जुटाना अपने में कठिन काम है।
masijeevi: रोचक काम करते रहे हैं आप।
कुछ और ब्‍यौरे रहते तो और अच्‍छा होता- ब्लॉगवाणी जैसी झलकियॉं हो गईं इस बात से हम भी सहमत हैं।
कुछ और मॉडलों पर विचार करें- कैसे तय हो कि आज की सबसे अच्‍छी पोस्‍ट किसकी होगी... कौन सी पोस्‍टें पढी जाएंगी किन पर टिप्‍पणी मिलेंगी और ऐसी कितनी होंगी जिनपर टिप्‍पणी तो मिलेंगी लेकिन पढ़ी नहीं जाएंगी... मतलब ब्‍लॉगजगत का गणित :))

अनूप जी ने बिल्कुल सही बात कही है, हमें तो आंकड़े दे दिए गए थे, लेकिन अगर ऐसे निष्कर्षों तक पहुचने में कुछ सबसे ज्यादा दिक्कत काम है तो वो है आंकडा इकठ्ठा करना. अपने देश में और मुश्किल, अपने देश में मुश्किल इसलिए की चीज़ें थोडी अव्यवस्थित हैं... या यूँ कहें की एकाउंटएबिलिटी नहीं है हर चीज़ की.अब देखिये जैसे पिछली पोस्ट में बनिए की दूकान से डिटर्जेंट का आंकडा इकठ्ठा किया गया था कनाडा में. उसमे किस परिवार ने क्या खरीदा?, महीने के किस तारीख को खरीदा?, उस घर में कितने लोग है? कितनी आय है? इस प्रकार से खूब आंकड़े थे. इन्हें इकठ्ठा करना वहां आसान था, हर ग्राहक को एक स्मार्ट कार्ड बाँट दिया गया और फिर काम आसान हो गया. वैसे ही अगर किस राज्य में कितनी गाडियां बिकी... किसी एक साल में ये जानना हो तो अपने देश में हर आरटीओ जाकर हर वर्ग में रजिस्टर हुई गाड़ियों की संख्या पता करो या फिर हर तरह के गाड़ी निर्माताओं से संपर्क करो. ये जानकारी हासिल करना उन देशों में आसान हो जाता है जहाँ सबकुछ कम्प्यूटर की सहायता से होता है. ये भी एक कारण है की रिसर्च पेपर उन देशों के आंकडों से ज्यादा छपते है और अपने यहाँ पूरी तरह से प्रभावी नहीं होते. अभी तक सांख्यिकी पर कुछ लिखा ही नहीं गया इस श्रृंखला में. तो आंकडो की समस्या की चर्चा उस पोस्ट के लिए छोड़ देते हैं।

आंकडों की समस्या बात उठ ही गई है तो आपको बताता चलूँ की वित्त और इनवेस्टमेंट बैंकिंग का एक मिनट भी आंकडों के बिना काम नहीं चल सकता. माइकल ब्लूमबर्ग सोलोमन ब्रदर्स नामक इनवेस्टमेंट बैंक में काम करते थे १९६६ से १९८१ तक. १५ वर्षों के अनुभव के बाद उन्हें आंकडों की समस्या हल करने की सूझी और उन्होंने १९८१ में ब्लूमबर्ग नाम की कंपनी खोली जिसका मुख्य काम हर तरह के आंकड़े और सुचना देना था. आज शायद ही कोई वित्तीय कम्पनी हो जो ब्लूमबर्ग के उत्पादों का इस्तेमाल ना करती हो. माइकल ब्लूमबर्ग अब दुनिया के सबसे अमीर आदमियों में से एक हैं फोर्ब्स के अनुसार उनकी संपत्ति ११.५ अरब अमेरिकी डालर के बराबर है.
अभी न्यूयार्क शहर के मेयर हैं और दानी होने तथा मात्र १ डालर वार्षिक आय लेने के कारण जाने जाते हैं. ९/११ की घटना के बाद अपनी कर्मठता के लिए भी जाने जाते है, अमेरिकी चुनाव में राष्ट्रपति पड़ के उमीद्वार होने की भी अटकलें लगाई गई. तो आंकड़े कमाल कर सकते हैं, आपको कहाँ से कहाँ पंहुचा सकते हैं ये तो आपने देख ही लिया. ब्लूमबर्ग तथा रॉयटर्स का एक तरह से वित्तीय आंकडों के बाजार में एकाधिकार है. (चित्र में: माइकल ब्लूमबर्ग और एक ब्लूमबर्ग टर्मिनल)
चित्र साभार: विकिपीडिया और http://blogs.pcworld.co.nz/pcworld/ck-live/bloomberg.jpg

अब बात ब्लॉग जगत के गणित की, मसीजीवीजी के सारे सवालों के उत्तर बहुत आसान है, बस कमी है तो आंकडों की. आप आंकड़े ले आइये हम जवाब देते हैं :-) वैसे आंकडें न भी मिलें तो थियोरी तो दी ही जा सकती है तो चलिए कुछ साधारण बातों की चर्चा कर लेते हैं. यह मानते हुए की आंकड़े उपलब्ध है. वैसे इस प्रकार का काम खूब होता है आजकल. जैसे मान लीजिये रेडिफ.कॉम खोला आपने. हर एक विजीट और क्लिक की अनाल्य्सिस की जाती है. इस बात की भी अनाल्य्सिस की जाती है कौन से ऐडवटाइज्मेन्ट ज्यादा क्लिक होते हैं? और कैसी हेडलाइनें ज्यादा पढ़ी जाती है. अब रेडिफ.कॉम की घर की खेती है... सारे आंकड़े होते हैं उनके पास हमें आंकडें मिलेंगे कहाँ से?

इन सब में डाटा माइनिंग,पैटर्न मैचिंग और सांख्यिकी का खूब इस्तेमाल होता है. मेरे कई दोस्त इस तरह के काम भी करते हैं.

अब मान लीजिये की सारा आंकडा उपलब्ध है तो उसमें ट्रेंड निकालना बड़ी बात नहीं होती. और उससे कई तरह की जानकारी निकाली जा सकती है. और फिर जरुरत के हिसाब से मॉडल में सुधार भी किया जा सकता है. कुछ प्राथमिक जानकारी तो ऐसे ही मिल जायेगी जैसे:
- कितने प्रतिशत पोस्ट ऐसे हैं जिन पर टिपण्णी है.
- हर पोस्ट पर औसत कितनी टिपण्णी आती है (इसके साथ ही माध्यिका(median) और बहुलक(mode) भी निकाला जा सकता है).
- औसत अंतराल जिन पर टिपण्णी आती है किसी ब्लॉग पर.
- टिपण्णी की लम्बाई (उसका औसत, मध्यिका, मानक विचलन(standard deviation) इत्यादि)

अब वितरण भी निकाला जा सकता है... मेरे हिसाब से अगर टिपण्णीयों की संख्या का वितरण (distribution) निकाला जाय तो कुछ इस तरह का आना चाहिए. यहाँ एक्स-अक्सिस पर टिपण्णीयों की संख्या तथा वाय-अक्सिस पर ब्लोगों की संख्या है. इसे लम्बी पुँछ का वितरण (Long tail distribution) भी कहा जाता है.बात साफ़ है ज्यादा टिपण्णी वाले ब्लोगों की संख्या कम है और कम या फिर बिना टिपण्णी वाले ब्लॉग की संख्या ज्यादा. अगर टिपण्णी की लम्बाई ले तो भी ऐसा ही वितरण आना चाहिए यानी किसी ब्लॉग पर लम्बी टिपण्णी वाले पोस्ट कम और छोटी टिपण्णी वाले पोस्ट ज्यादा होंगे. (यहाँ एक्स-अक्सिस पर टिपण्णी की लम्बाई और वाय-अक्सिस पर पोस्ट की संख्या).अगर एक बार वितरण का अनुमान हो गया तो फिर कई सूत्र हैं जानकारी निकालने के लिए. अब इसमें कुछ आउटलायर भी होंगे, जैसे मान लीजिये किसी ने टिपण्णी करना ही डिसेबल कर दिया हो. या फिर ऐसे जिन्हें खूब टिपण्णी मिलती हो. वैसे बिना आंकडों के भी ऐसे आउटलायरों को तो हम जानते ही हैं :-)

अब आगे बढ़ते हैं अगले सवालों की तरफ़ अगर हम ब्लॉग पर आने वालों की संख्या तथा टिपण्णी की संख्यां के बीच सहसंबंध (correlation) निकाल लें तो ये भी बड़े काम की जानकारी होगी, इससे ये पता चलेगा की किसी ब्लॉग पर आने वाले लोग टिपण्णी करते हैं या नहीं (हिट्स बढ़ा लेने की लिए ब्लॉग पर कीवर्ड या विवादित शब्द डाले जा सकते हैं, पर इससे टिपण्णी की संख्या नहीं बढाई जा सकती !) अब इसमे भी वितरण निकालने पर आउटलायर निकाले जा सकते हैं, वैसे जिनपर लोग आते तो हैं पर टिपण्णी नहीं करते (इसका कारण मोडरेशन भी हो सकता है). और ऐसे भी जिन पर लोग तो कम आते हैं पर उस हिसाब से टिपण्णी ज्यादा ऐसा हिन्दी ब्लोग्स में अक्सर देखने को मिलता हैं जहाँ लोग एक मित्र मंडली की तरह ब्लॉग पढ़ते हैं और जो भी आता है एक टिपण्णी चटका जाता है. तो लोकप्रियता का बेहतर मापदंड केवल टिपण्णी या केवल ब्लॉग विजीट न होकर उनके बीच का सहसंबंध भी हो सकता है. अब ऐसा भी होता है की किसी एक ब्लॉग में कुछ पोस्ट ओउलायर होते हैं... इनको अलग करके इनमे पैटर्न निकाला जा सकता है. पैटर्न निकालने में एक उदहारण देना चाहूँगा मान लीजिये की हम देखते हैं की किसी ब्लॉग पर आई कुल टिपण्णीयों में कितने 'साधुवाद', फिर 'सहमत हूँ आपसे', 'धन्यवाद इस पोस्ट के लिए', 'रोचक जानकारी' जैसे हैं. इनकी संख्या तथा अन्य टिपण्णीयों की लम्बाई पर मॉडल बनाए जा सकते हैं. इसके अलावा इस बात की भी जांच की जा सकती है की कितने बजे छपने वाले पोस्ट पर कितनी टिपण्णी आती है. (इसके लिए एक ही ब्लॉग के पोस्ट के छपने का समय और आई टिपण्णीयों का सम्बन्ध भी मिल सकता है) बहुत तरह का गणित लगाया जा सकता है, जरुरत है तो सिर्फ़ आंकडों की !

आगे जिस सवाल की चर्चा होनी है वो गणित के एक हलके सवाल से शुरू हुआ और गणित का सबसे कठिन सवाल बन गया, इतना आसन की छठी कक्षा के छात्र को समझ में आ जाय और इतना कठिन की ४०० सालों तक कोई गणितज्ञ ना हल कर पाया. इतिहास के सबसे बड़े-बड़े गणितज्ञों ने हाथ आजमाया... क्या हुआ जानते हैं जल्दी ही.. !

~Abhishek Ojha~