Friday, March 29, 2013

अपूर्णमिदं !

पूजा की पोस्ट पढ़ते हुए ये लाइन मिली - I am jigsaw puzzle of collective memories, the key piece of which has been lost with mummy, forever. For all they try, no one can assemble me with all the pieces in their right place. And so I remain, a confused jumble of faces, tears, smiles, people, lost and found, roads, rain, school, college, teachers, friends...

मुझे ये पढ़ते हुए इन्कम्प्लीटनेस थियोरम की याद आई और मेरे उस 'लभ लेटर' की ये लाइन -

"फिलहाल इंकम्पलिटनेस थियोरम की तरह जिंदगी है। उस जिगसा पज़ल की तरह जिसका एक टुकड़ा खो गया है। कैसे भी सुलझाऊँ बिन उस टुकड़े के अधूरा ही रहेगा। तुम्हें पता है वो टुकड़ा क्या है? - तुम हो वो टुकड़ा !"

टिप्पणी-प्रतिटिप्पणी के बीच पूजा ने कहा -incompleteness theorem की सविस्तार व्याख्या करें, उदहारण के साथ :O

तो हम वो समझाने जा रहे हैं जो लोग सही से ज्यादा गलत समझ लेते हैं। जैसा किसी भी 'अच्छे' सिद्धांत के साथ होता है। अक्सर लोग अपने हिसाब से इन्कम्प्लीटनेस थियोरम का मतलब निकाल लेते हैं- लिखते लिखते हम भी निकाल ही लेंगे ! तो बिन पढ़े मेरी समझ को कहीं भी अपने रिक्स पर इस्तेमाल करें। हाँ रिक्स ही कहा रिस्क नहीं :)

हर औपचारिक गणितीय प्रणाली एक सोच का नतीजा होती है। विशुद्ध सोच-तर्क और कुछ नहीं ! पूरी प्रणाली कुछ स्वयंसिद्ध मान लिए गए सिद्धांतों (Axiom) पर आधारित होती है। इन स्वयंसिद्ध कथनो पर कोई सवाल नहीं उठाता, उन्हें सच मान लेते हैं बिन कुछ पूछे - स्वयंसिद्ध - अंतर्ज्ञान, आत्मा की आवाज की तरह। जैसे "किसी भी दो बिंदु को मिलकर एक रेखा बनायीं जा सकती है"। ये स्वयंसिद्ध है। हर गणितीय प्रणाली ऐसे स्वयंसिद्ध नियमों और तर्क से मिलकर ही बनती है। इनके अलावा बाहर का कुछ भी इस प्रणाली में नहीं आ सकता। इनके अलावा जो भी हो उसे सिद्ध करना पड़ता है। इनके अलावा बिना सिद्ध किये कुछ भी मान्य नहीं होता।

गणित की भाषा में प्रणाली के पूर्ण (complete) का मतलब - किसी भी कथन को सही या गलत साबित करने की क्षमता। और संगत (consistent) का मतलब - कोई भी कथन ऐसा न हो जो सही और गलत दोनों सिद्ध हो जाए !

अब कायदे से हर गणितीय प्रणाली को पूर्ण होना चाहिए। अर्थात केवल वही कथन जो सत्य है उन्हें ही साबित होना चाहिए। कोई विरोधाभास नहीं होना चाहिए। और हर कथन को सही या गलत साबित करने की क्षमता भी होनी चाहिए। पर गोडेल ने अपूर्णता प्रमेय में कहा कि .... ऐसी प्रणाली की सीमाएं हैं ! उनका पहला प्रमेय ये कहता है (मोटे तौर पर) - अंकगणित के लिए किसी भी औपचारिक गणितीय प्रणाली, जो विराधोभासो से परे हो, में ऐसे कथन होंगे जिन्हें उस प्रणाली के अंतर्गत ना तो सत्य सिद्ध किया जा सकता है ना असत्य ! अर्थात अपूर्ण। गोडेल ने कहा कि हम किसी भी प्रणाली में नए स्वयंसिद्ध जोड़कर ऐसे कथनों को सत्य या असत्य की श्रेणी में रख सकते हैं। अर्थात जो सही या गलत न पता चले वैसे कथनो को दोनों में से एक मान लें तो गणितीय प्रणाली तो पूर्ण हो जाएगी -  पर ऐसा करने से फिर कुछ नए कथन बन जायेंगे जो फिर से ना सत्य ही रहेंगे ना असत्य। अर्थात अपूर्णता से निजात नहीं !

एक तरह से गोडेल ने कहा कि एक साथ सत्य और सर्वव्यापी प्रणाली नहीं हो सकती। बिन कुछ झूठ कहे हम हर सत्य को नहीं कह सकते या हमेशा कुछ ऐसा सत्य बचा रह जाएगा जिसे हम साबित नहीं कर सकते - हर कथन को साबित करना संभव नहीं ! कुछ न कुछ बचा रह जाना है। जिगसा पज़ल के एक मिसिंग टुकड़े की तरह। हम जैसे भी मिलाते जाएँ… एक टुकड़े के बिन पूर्ण आकृति नहीं बन सकती। दूसरा प्रमेय कहता है कि प्रणाली खुद अपनी असंगति सिद्ध नहीं कर सकती। पर हम बात पहले की ही करते हैं।

नियम और स्वयंसिद्धों से हमेशा कुछ कथन असिद्ध/अज्ञात (सत्य हैं या असत्य) रह जायेंगे। और अगर प्रणाली के बाहर से नए नियम और स्वयंसिद्ध कथन ले आयें तो? तो भी नए असिद्ध कथन बनते जायेंगे। कहने का मतलब अपूर्णता रहनी ही है। अर्थात हर प्रणाली में हम जितना भी जान पाते हैं उससे कहीं ज्यादा सत्य कथन होते ही हैं।

इस प्रमेय से जैसे ये कहा जाता है कि कंप्यूटर कभी इंसानों जैसे नहीं हो सकते क्यूंकि वो हमेशा एक नियत नियम और स्वयंसिद्ध कथनों पर आधारित होते हैं। जबकि हमारा दिमाग नहीं... इसलिए हम अनजाने, अप्रत्याशित सत्यों से रूबरू होते रहते हैं। दार्शनिक वैसे इस प्रमेय को इंसानी दिमाग पर भी लगाते हैं और कहते हैं कि हर एक तार्किक प्रणाली की तरह ही एक इंसान भी अपने आपको कभी पुर्णतः नहीं समझ सकता क्योंकि हम खुद के बारे में खुद की ही प्रणाली से ही तो जानते हैं। और हर प्रणाली ही अपने खुद की असंगति को सिद्ध नहीं कर सकती ! [हरी ॐ तत्सत् ! Smile क्या क्या तो मस्त सोच गए हैं लोग !]

यहाँ ध्यान देने की बात है कि गोडेल ने ये नहीं कहना चाहा कि जो है वो गलत या बेकार है। गोडेल ने कहा कोई भी प्रणाली पूर्ण नहीं है। मेकेनिकल तरीके से नियम कितने भी तार्किक हो कुछ कमी तो रहनी ही है। और हमें गणित में (और अन्यत्र भी) अंतर्ज्ञान और निरंतर खोज को जारी रखना चाहिए। नियमों और तर्क पर आधारित प्रणाली एक मशीन ब ना सकती है... कम्प्युटर, सैटेलाइट, रॉकेट इत्यादि। विशालकाय सिस्टम जिसमें सब कुछ तार्किक हो... पर इंसान का इंट्यूशन, उसका अंतर्ज्ञान हमेशा होना चाहिए... क्योंकि सिस्टम में एक अपूर्णता रहनी ही है। [और हम कहते हैं कि किसी ने कह दिया या किसी ने लिख दिया तो वो सत्य है ! फ्लैक्सिब्ल होने के लिए 'वादियों' को गणित पढ़ना चाहिए :)]

अगर आपने कभी कंप्यूटर प्रोग्राम लिखा है तो आपको पता होगा इनफिनिट लूप क्या होता है। इसे हाल्टिंग प्रॉब्लम भी कहते हैं। गलती से ऐसा हो जाता है कि प्रोग्राम चलता ही रह जाता है हमेशा के लिए। सवाल ये है कि क्या ऐसा कोई तरीका हो सकता है जिससे पता लगाया जासके कि कोई प्रोग्राम ऐसे लूप में फँसेगा या नहीं? उत्तर – “नहीं” !  - अपूर्णता प्रमेय !

उसी तरीके से कोई ऐसा प्रोग्राम नहीं हो सकता जो कंप्यूटर के ऑपरेटिंग सिस्टम को छेड़े बिन वायरस का पता लगा सके। अर्थात प्रणाली के बाहर का लाना ही पड़ेगा - अपूर्णता !

यानी हमेशा ऐसे सच होंगे जो सिद्ध नहीं किये जा सकते या कुछ असत्य सत्य सिद्ध हो जायेंगे। और दूसरा प्रमेय ये कहता है कि अगर कोई प्रणाली अपने सिद्धांतो से स्वयं को संगत सिद्ध करती है तो वो प्रणाली ही असंगत है !

हमने फेसबूक पर लिखा था -

There will *always* be more true things than what we can know and prove...
... and there will *always* be things that, despite being true, cannot be proven to be true. (-incompleteness theorem)

…so its not strange if We know something is truth but we can't prove it and vice versa!

हरी ॐ तत्सत् ! Smile

--

~Abhishek Ojha~

Friday, March 8, 2013

... do what you must, come what may. (भाग 2)

(पिछले भाग से जारी)

सोनिया, व्लादिमीर और अनिउता पहले विएना गए पर एक तो विएना महंगा बहुत था और दूसरे सोनिया को वहाँ के विश्वविद्यालयों के गणित का स्तर भी पसंद नहीं आया। अनिउता वहाँ से फ़्रांस चली गयी जहां उसने बाद में राजनीतिक गतिविधियों में हिस्सेदारी निभाई। सोनिया और व्लादिमीर कुछ दिनों बाद इंग्लैंड चले गए। व्लादिमीर जीवाश्मिकी का छात्र था वहाँ उसे चार्ल्स डार्विन और थॉमस हक्सले के साथ काम करने का मौका मिला। सोनिया यहाँ लेखिका जॉर्ज ईलियट के संपर्क में आई। पर उसका सपना पूरा हुआ जब वो जर्मनी गयी जहां उसे हिडेलबर्ग विश्वविद्यालय में गणित और भौतिकी के व्याख्यानों में बैठने की अनुमति मिल गयी। यहाँ सोनिया की ख़्वाहिश थी रॉबर्ट बुंसेन (बुंसेन बर्नर वाले) के मार्गदर्शन में पढ़ने की। रोबर्ट बुंसेन औरतों की पढ़ाई के सख्त खिलाफ थे। उन्होने कह रखा था की कोई भी महिला उनकी प्रयोगशाला में काम नहीं कर सकती। पर सोनिया कोवलेव्सकी पहली महिला थी जिसे उन्होने अपने प्रयोगशाला में काम करने की अनुमति दी।

सोनिया इसके बाद विख्यात गणितज्ञ कार्ल विस्ट्रास के मार्गदर्शन की आस में बर्लिन गयी। विस्ट्रास के लिए भी किसी महिला का गणितज्ञ होना असहज था। सोनिया को टालने के लिए उन्होने कुछ कठिनतम प्रश्न हल दे दिया इस शर्त के साथ कि अगर सोनिया ने उन प्रश्नो को हल किया तो वो उसे मार्गदर्शन देने को सहमत हों जाएँगे। कुछ दिनों बाद सोनिया ने जिस प्रभावी तरीके से  उन प्रश्नों पर किया गया अपना काम विस्ट्रास को दिखाया तो विस्ट्रास ने निजी मार्ग दर्शन देना स्वीकार कर लिया। ये सोनिया के गणितीय अध्ययन के सबसे अच्छे दिन रहे। 1874 में 24 वर्ष की अवस्था में सोनिया ने  पर्शियल डिफ़ेरेन्शियल समीकरण, शनि के वलय और एलिप्टिक इंटीग्रल पर तीन शोधपत्र गोटिंगेन विश्वविद्यालय में डोक्ट्रेट की उपाधि के लिए प्रस्तुत किया। विस्ट्रास के सहयोग और पत्रों की गुणवत्ता को देखते हुए बिन कक्षाओं में गए और बिना किसी परीक्षा के गोटिंगेन विश्वविद्यालय ने सोनिया को डोक्ट्रेट की उपाधि प्रदान की।  ये उपाधि प्राप्त करने वाली वो यूरोप की पहली महिला थी।

इनमें से पर्शियल डिफ़ेरेन्शियल समीकरण पर किये गये उनके काम का एक हिस्सा अब कौशी-कोवलेव्सकी थियोरम के नाम से जाना जाता है।

महिला होने कि वजह से विस्ट्रास की मदद के बावजूद सोनिया को कहीं अध्यापन का काम नहीं मिल पाया। गरीबी और फिर शेयर धांधली के आरोप के भय से व्लादिमीर की आत्म हत्या जैसे बुरे दिनों का अंत 1884 में हुआ जब सोनिया को स्वीडन के स्टॉकहोम विश्वविद्यालय में प्रोफेसर की नौकरी मिली। यहाँ सोनिया को बहुत से पुरस्कार और सम्मान भी मिले। 1888 में सोनिया ने "द प्रॉबलम ऑफ द रोटेशन ऑफ अ सॉलिड बॉडी अबाउट अ फ़िक्स्ड पॉइंट" के नाम से एक शोधपत्र पेरिस अकादमी ऑफ साइंस में पृक्स बोरडीन पुरस्कार के लिए जमा किया। ये पुरस्कार गणित में मौलिक काम के लिए दिया जाना वाला सबसे बड़ा पुरस्कार माना जाता था। इस पत्र में वर्णित एक सिद्धान्त को अब कोवलेव्सकी टॉप के नाम से जाना जाता है।

पुरस्कार में कोई भेदभाव न हो इसलिए अकादमी ने पूरी तरह से बेनामी पत्र मंगाए थे। हर पत्र पर एक पहचान के लिए कुछ पंक्तियाँ लिखनी थी। और साथ ही एक अलग सील किए गए लिफाफे में अपना नाम और वही पंक्ति लिखनी थी। उस साल ये पुरस्कार सोनिया कोवलेव्सकी को मिला... उन्होने अपने पत्र पर ये पंक्तियाँ लिखी थी -

"Say what you know,
Do what you must,
Come what may."

--

~Abhishek Ojha~

(Mathematicians are people, too और थोड़ी इधर उधर से पढ़ी गयी जानकारी पर आधारित)

Sunday, March 3, 2013

... do what you must, come what may. (भाग 1)

घर की रंगाई-पुताई करते हुए रंग का कम पड़ जाना आम बात है... फिर एक पुराने किले सी विशाल विशालकाय हवेली में रह रहे रूसी शाही सेना से सेवा निवृत्त जनरल क्रुक्वोस्की  द्वारा  कमरों की दीवारों पर लगाने के लिए खरीदे गए चित्र कम पड़ गये तो ये कोई आश्चर्यजनक घटना नहीं थी। पर ये छोटी सी घटना नींव बनी... यूरोप की पहली महिला डोक्ट्रेट, पहली प्रोफेसर और गणितज्ञ सोनिया कोवलेव्सकी के गणितज्ञ बनने की।

जनरल क्रुक्वोस्की के ससुर गणितज्ञ थे और उन्हें प्रभावित करने के लिए जनरल ने कभी कैलकुलस सीखना चाहा था और उसके लिए चित्राकार कैलकुलस के नोट्स खरीदे थे। जब दीवारों पर लगाने के लिए चित्र कम पड़ गए तो उन्होने एक कमरे में उन अनछुए  नोट्स को ही लगा दिया। ये कमरा था 1850 में जन्मी जनरल की दूसरी बेटी सोनिया का। दस ग्यारह साल की उम्र में उसे वो नोट्स पढ़कर क्रम में सजाना अच्छा लगता था। कैलकुलस से उसका यह पहला परिचय था। सोनिया और उसके भाई बहनों की पढ़ाई घर में ही निजी शिक्षको द्वारा होती थी। उसके एक शिक्षक ने उसके लिखे एक नाटक से प्रभावित होकर कहा था कि सोनिया एक दिन प्रसिद्ध लेखक बनेगी। इन्हीं दिनों सोनिया ने अपने चाचा को बताया कि उसे गणित में रुचि है और वो उसके कमरों में लगे चित्रो में से बहुत कुछ समझती है। उसके चाचा ने कहा कि शिक्षक चाहे जो कहें उसे वही करना चाहिए जो उसका दिल कहता हो। पर अगर उसे गणित पढ़ने का मन है तो उसे समस्याओं से लड़ने के लिए भी तैयार रहना चाहिए। उन्होने ये भी बताया कि ऐसा करने पर उसे रूस से बाहर जाना पड़ेगा क्योंकि उन दिनों रूस में लड़कियों के लिए उच्च गणित पढ़ना संभव नहीं था। पीटर चाचा ने ये भी कहा कि आत्म संतुष्टि के लिए ऐसे संघर्ष करने में आनंद ही मिलता है ! चाचा के प्रोत्साहन के बाद सोनिया ने त्रिकोणमिती, भौतिकी और जीव विज्ञान की पुस्तकें मंगा कर खुद से पढ़ाई की।

जब सोनिया अठारह साल की हुई तब क्रुक्वोस्की परिवार बच्चों की उच्च शिक्षा के लिए सेंट पीटर्सबर्ग आ गया। वहाँ जब सोनिया कैलकुलस की कक्षा में गई तो उसे एहसास हुआ कि उन चित्रों को सजाने के क्रम में जो कुछ उसने समझा था वो उन कक्षाओं में पढ़ाये जा रहे कैलकुलस से कहीं ज्यादा था। पर रूस में उन दिनों  विश्वविद्यालयों में लड़कियों को नामांकन नहीं मिलता था। आगे पढ़ने का बस एक ही तरीका था रूस से बाहर जाना। पर उस समय के सामाजिक मान्यताओं के हिसाब से अकेली लड़की बिना किसी पुरुष के विदेश कैसे जाती !... इस समस्या के लिए  सोनिया ने अपनी बड़ी बहन अनिउता को एक झूठी शादी के लिए मनाया। योजना ये थी कि अनिउता व्लादिमीर कोवलेव्सकी से शादी कर जर्मनी जाएगी और सोनिया भी उनके साथ चली जाएगी। और जर्मनी जाने के बाद वो दोनों वहाँ व्लादिमीर से अलग हो जाएंगी। व्लादिमीर इस योजना के लिए तैयार हो गया पर उसने शर्त रखी कि वो शादी सोनिया से करेगा। बड़ी बहन के रहते छोटी की शादी के लिए जनरल क्रुक्वोस्की कभी राजी नहीं होते.

सोनिया ने अपने पिता एक झूठी चिट्ठी लिखी कि मैं व्लादिमीर के साथ भाग रही हूँ... चिट्ठी पढ़ कर जनरल साहब इज्जत बचाने के लिए भागे-भागे व्लादिमीर के घर गए और उन्होने शादी के लिया हाँ कह दिया !   (...जारी)

--

~Abhishek Ojha~

(Mathematicians are people, too और थोड़ी इधर उधर से पढ़ी गयी जानकारी पर आधारित)